Ненавантажене резервування

Ненавантажене резервування — спосіб резервування елементів, при якому резервні елементи знаходяться у вимкненому стані і мають знехтовно малу інтенсивність відмови. У теорії систем з ненавантаженим резервуванням ця інтенсивність вважається рівною 0. Розрізняють невідновлювані і відновлювані системи з ненавантаженим резервуванням.

Невідновлювані системи. Хай система складається з $\!n$ основних елементів з густиною часу безвідмовної роботи $\!\lambda e^{-\lambda t}\ ,\,t>0$ і $\!m$ резервних елементів. Відмова системи наступає в мить, коли число елементів, що відмовили, приймає значення $\!m+1$ . Тоді час безвідмовної роботи системи має густину ймовірності $\!\lambda n{\frac {\left(\lambda nt\right)^{m}}{m!}}e^{-\lambda nt}$; середній час безвідмовної роботи $\!{\frac {m+1}{\lambda n}}$; ймовірність того, що система не відмовить за час $\!t$ складає $\!e^{-\lambda nt}\sum \limits _{k=0}^{m}{\frac {\left(\lambda nt\right)^{k}}{k!}}$

Відновлювані системи. Хай $\!n$, $\!m$, $\!\lambda$— ті ж параметри, що і в невідновлюваних системах, і елементи, що відмовили, відновлюються операторами, кожний з яких відновлює один елемент протягом випадкового часу з густиною $\!\mu e^{-\lambda t}\ ,\,t>0$

Позначимо через $\!T_{k}$ математичне сподівання часу до відмови системи за умови, що у момент $\!t=0$ число несправних елементів дорівнює $\!k$. Тоді $\!T_{k}$ визначається розв'язком системи рівнянь

$\!T_{k}={\frac {1}{\lambda n+\mu _{k}}}+{\frac {\lambda n}{\lambda n+\mu _{k}}}T_{k+1}+{\frac {\mu _{k}}{\lambda n+\mu _{k}}}T_{k-1},\,k=0,\,1,\,\ldots ,\,m,$ де $\!\mu _{k}=\mu k$ при $\!k\leq r$ — $\!\mu _{k}=\mu r$ при $\!k>r$; $\!T_{-1}=T_{m+1}=0$. Якщо $\!\lambda \ll \mu$, то наближений вираз середнього часу між відмовами системи має вигляд $\!\mu _{1},\,\ldots ,\,\mu _{m}/\left(\lambda n\right)^{m+1}.$

Нехай система складається з одного основного і одного резервного елемента $\!\xi$— випадковий час безвідмовної роботи елемента, $\!\alpha$ — ймовірність відновлення резервного елемента за час $\!\xi$. Тоді при малих $\!1-\alpha$ її час безвідмовної роботи системи має розподіл, близький до розподілу з густиною $\!\nu e^{-\nu t}$, де $\!\left(1-\alpha \right)/M\xi$.

І. М. Коваленко

Література

• Енциклопедія кібернетики : у 2 т. / за ред. В. М. Глушкова. — Київ : Гол. ред. Української радянської енциклопедії, 1973.