Нелінійна апроксимація

Лінійна, особливо лінійна поліноміальна, апроксимація часто не відповідає характеру функції. Наприклад многочлен високого степеня швидко зростає при $|x|\to \infty$; тому навіть нескладну функцію $y(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}$ многочлен погано аппроксимує на великому відрізку. Оскільки апроксимація проводиться в широкому інтервалі зміни аргументу використання нелінійної залежності від коефіцієнтів тут ще більш вигідно ніж при інтерполяції. На практиці використовують два види залежності. Один — квазілінійна залежність, що зводиться вирівнюючою заміною змінних $\eta (y)$, $\xi (x)$ до лінійної. Цей спосіб дуже ефективний і часто використовується при обробці експерименту, тому що апріорні дані про фізику процесу допомагають знайти хорошу заміну змінних $\eta =\lg y$ і ${\mathit {t}}$, де y(x) — швидкість розпаду. В цих змінних крива зазвичай апроксимується апроксимується ламаною ланки якої відповідають розпаду все більш довгоживучих членів радіоактивного ряду. Другий застосовуваний вигляд залежності від коефіцієнтів — дробово-лінійна, коли апроксимуюча функція раціональна:

$\varphi (x)=P_{n}(x)/Q_{m}(x)=(\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k})/(\sum _{q=0}^{m}b_{q}x^{q})$.

Нерідко використовується і відношення узагальнених многочленів. Така апроксимація дозволяє передати полюси функції у(х) — їм відповідають нулі знаменника потрібної кратності. Часто можна відтворити асимптотичну поведінку y(x) при $x\to \infty$ за рахунок відповідного вибору иуличини n-m;наприклад, якщо $y(\infty )={\mathit {const}}\neq 0$,то потрібно покласти n=m.При цьому самі n, m можна брати достатньо великими, щоб мати багато коефіцієнтів апроксимації. Однак квадрати похибки ${}\!||y-P_{n}/Q_{m}||_{L_{2}}^{2}$ вже не будуть квадратичною функцією коефіцієнтів, так що знайти коефіцієнти раціональної функції нелегко. Можна за аналогією з середньоквадратичною апроксимацією многочленами висунути гіпотезу, що похибка $y(x)-[P_{n}(x)/Q_{m}(x)]$ має на [a, b] число нулів, не менше числа вільних коефіцієнтів. Тоді задача зводиться до лагранжевої інтерполяції по цих нулях $x_{p}$ і коефіцієнти $a_{k}$, $b_{q}$ знаходяться з системи лінійних рівнянь:

$y(x_{p})\sum _{q=0}^{m}b_{q}x_{p}^{q}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}x_{p}^{k}$, $0\leq p\leq n+m;b_{0}=1$.
Зрозуміло, що точне положення нулів невідоме; їх обирають випадково, зазвичай рівномірно розподіляючи на відрізку [a, b]. Цей спосіб називають методом обраних точок. Отримане методом наближення $\varphi (x)$ зовсім не буде найкращим. Окрім того, метод обраних точок не розумне вирішення, як і всяка інтерполяція, якщо $y(x_{p})$ мають помітну похибку.

Найкраще наближення можна знайти методом ітерованої ваги. Підмітимо, що задача ${}\!||Q_{m}(x)y(x)-P_{n}(x)||_{L_{2}}^{2}=min$ легко розв'язується:вираз, що стоїть справа є квадратичною функцією коефіцієнтів $a_{k},b_{q}$, і диференціювання по них приводить до лінійної системи для визначення коефіцієнтів. Нова задача відрізняється від вихідної по суті тим, що замість ваги $\rho (x)$ використовується інша вага $\rho (x)Q(x)_{m}^{3}$, тому її розв'язок не є найкращим наближенням. Запишемо вихідну задачу в новій формі: ${}\!||y-(P_{n}/Q_{m})||_{L_{2}}^{2}=\int _{a}^{b}{\bar {\rho }}(x)[Q(x)_{m}y(x)-P(x)_{n}]^{2},dx=min$,
${\bar {\rho }}(x)=\rho (x)/Q(x)_{m}^{3}$,
і будемо розв'язувати її простим ітераційним процесом

${\bar {\rho }}^{(s)}(x)=\rho (x)[Q_{m}^{(s-1)}(x)]^{2}$

$\int _{a}^{b}[{{\bar {\rho }}^{(s)}(x)}y(x)-P_{n}^{(s)}(x)]^{2}\,dx=min$;

за нульове наближення можна взяти $Q_{m}^{(0)}(x)\equiv 1$. На кожній ітерації вага відома по попередній ітерації, тому коефіцієнти $a_{k}^{(s)},b_{q}^{(s)}$ легко знаходяться з умови мінімуму квадратичної форми. Практика показує, що коефіцієнти найкращого наближення слабко залежать від вибору ваги, тому зазвичай ітерації збігаються швидко.

Джерела

• Н. Н. Калиткин Численные методы