Модель Wonderland

Wonderland є інтегрованою математичною моделлю, яка використовується для вивчення явищ в сталого розвитку. Вперше представлена в (Sanderson 1994), зараз існує кілька суміжних версій для цієї моделі в використанні. Wonderland дозволяє економістам, політичним аналітикам і екологам, вивчати взаємодію між господарським, демографічним і антропогенними секторами в ідеалізованому світі, що дає їм можливість використовувати отримані дані в реальному світі.

Вступ

Wonderland є компактною моделлю. Загалом, існує лише чотири постійних змінних стану, по одній для господарського і демографічного секторів і дві для антропогенного сектору, що робить Wonderland більш компактною і легшою для аналізу, ніж великі заплутані моделі, такі як World3. З цієї причини вона часто використовується як початкова область тестування нових методів у сфері аналізу політики (Lempert, et al., 2003).

Основні рівняння

Позначимо чотири змінні стану: $x(t)$ – населення, $y(t)$ – виробництво на душу населення , $z(t)$ – природні багатства і  $p(t)$ – викид забруднення на одиницю виробництва. Нехай $x,y\in [0,\infty )$ і $z,p\in [0,1]$, тоді змінні стану змінюються в дискретному часі, відповідно до наступного рекурентного співвідношення (Sanderson, 1994).

${\begin{aligned}x(t+1)&=x(t)\left[1+b{\Big (}y(t),z(t){\Big )}-d{\Big (}y(t),z(t){\Big )}\right],\\y(t+1)&=y(t)\left(1+\gamma -(\gamma +\eta ){\Big [}1-z(t){\Big ]}^{\lambda }\right),\\z(t+1)&={\frac {g{\Big (}x(t),y(t),z(t),p(t){\Big )}}{1+g{\Big (}x(t),y(t),z(t),p(t){\Big )}}},\\p(t+1)&=p(t)(1-\chi ),\\\ &\ \\\!\!\!{\text{де,}}\qquad &\ \\\ &\ \\b(y,z)&=\beta _{0}\left[\beta _{1}-\left({\frac {e^{\beta y}}{1+e^{\beta y}}}\right)\right],\\d(y,z)&=\alpha _{0}\left[\alpha _{1}-\left({\frac {e^{\alpha y}}{1+e^{\alpha y}}}\right)\right]\left[1+\alpha _{2}(1-z)^{\theta }\right],\\g(x,y,z,p)&={\frac {z}{1-z}}\,e^{\,\delta z^{\rho }-\omega f(x,y,p)},\ {\text{і}}\\f(x,y,p)&=xyp.\end{aligned}}$

Взагаліному ці рівняння залежать від 15 параметрів. 

Сектор	Параметри
Господарський	$\ \gamma ,\ \eta ,\ \lambda$
Демографічний	$\ \chi ,\ \delta ,\ \rho ,\ \omega$
Антропогенний	$\ \alpha ,\ \alpha _{0},\ \alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \beta ,\beta _{0},\ \beta _{1},\ \theta$

$b(y,z)$ і $d(y,z)$ показують рівень народжуваність і рівень смертності відповідно. Обидва ці значення на душу населення збільшують викиди, згідно з емпіричними дослідженнями (Cohen, 1995).

Форма$f(x,y,p)$ слідує з I = PAT гіпотези.

Системна поведінка

Використовуючи техніку аналізу сценарію, Сендерсон (1994) дослідив два сценарії майбутнього описані в Wonderland. Одне майбутнє називається Мрія, висувається можливість безперервного стійкого зростання, інше називається Жах, яке закінчується екологічною кризою і можливим вимиранням населення. Подальша робота (Kohring, 2006) показує, що параметри моделі можуть бути розділені на дві множини, з одної завжди отримуємо стійке майбутнє і інша завжди приводить до кризи і вимирання. Додатково, рівняння Wonderland показують хаотичну поведінку (Gröller, et al., 1996, Wegenkittl, et al., 1997, Leeves and Herbert, 1998).

Уникнення кризи

В базовій моделі неможливо уникнути або відновитися з екологічної кризи у сценарії Жах без зміни самої моделі. Проте дві зміни, які допомагають уникнути катастрофи, були вивчені: зниження рівня забруднення і уникнення забруднення.

Зниження рівня забруднення

Для очищення забруднення необхідно залучати кошти з інших джерел (Sanderson, 1994). Це зменшує значення $y$, яке входить у рівняння народжуваності $b$ і смертності $d$:

${\begin{aligned}y^{\prime }=y-\phi (1-z)^{\mu }y\end{aligned}}$

Час зміни $y(t)$ не змінюється, тому що ті товари і послуги, які необхідні для боротьби із забрудненням, також повинні розглядатися як частина загального виробництва. Вплив цих змін на навколишнє середовище виражається змінами $f$:

${\begin{aligned}f(x,y,p)=xyp-\kappa {\frac {e^{\epsilon \phi (1-z)^{\mu }yx}}{1+e^{\epsilon \phi (1-z)^{\mu }yx}}}\end{aligned}}$

Ці зміни вносять у модель три нові параметри:

Сектор	Параметри
Політичні важелі	$\ \phi ,\ \mu ,\ \kappa$

Підбираючи політичні важелі, можна очистити забруднене середовище та відновитись після кризи, яка виникає в сценарії Жах. Проте відновлення є тимчасове, після короткого часу система знову занепадає, що веде до нескінченних циклів кризи з подальшим відновленням. Зниження забруднення не змінює фундаментального поділу параметрів на два набори сталого та нестійкого майбутніх (Kohring, 2006).

Уникнення забруднення

Уникнення забруднення має на меті запобігти надходженню забруднення в навколишнє середовище, зробивши це збитковим. Це моделюється за допомогою податку на забруднення (Herbert and Leeves, 1998, Lempert, et al., 2003):

${\begin{aligned}y(t+1)&=y(t)\left(1+\gamma -\left(\gamma +\eta \right){\Big [}1-z(t){\Big ]}^{\lambda }-\gamma _{0}\,{\frac {\tau }{1-\tau }}\right),\\p(t+1)&=p(t)\left(1-\chi -\chi _{0}{\frac {\tau }{1+\tau }}\right).\\\end{aligned}}$

Нові параметри для моделі запобігання забрудненню:

Сектор	Параметри
Політичні важелі	$\ \gamma _{0},\ \chi _{0},\ \tau$

З цими змінами можна підвищити рівень податків $\tau$ уникнути кризи і сценарію Жах. Незалежно від інших параметрів, завжди можна збільшити $\tau$ (Kohring, 2006).

Різновиди

Виробнича функція

Замість відносно простого рівняння економічного зростання, яке використовується для $y(t)$ деякі дослідники використовують виробничу функцію Кобба-Дугласа (Leeves and Herbert, 2002).

Кілька країн

Стандартна форма моделі Wonderland містить єдиний суб'єкт господарювання. Герберт в (2005) розширив Wonderland до багатонаціональної моделі, дозволяючи різним суб'єктам господарювання використовувати різні набори параметрів, припускаючи, що результати виробництва пов'язані через спільну торгівлю.

Диференціальні рівняння

Спочатку розроблена в термінах дискретного часу, різницеві рівняння, модель часто переробляється як сукупність диференціальних рівнянь безперервного часу (Gröller, і співавт., 1996)

Посилання

• Школам математичного моделювання на факультеті прикладної математики та інформатики Львівського національного університету імені Івана Франка кафедра прикладної математики
• Cohen, J.E. (1995). How Many People can the Earth Support?. New York: W. W. Norton & Company.
• Frigg, R.; Hartmann, S. (2009). Models in Science. У Zalta, E.N. (ред.). The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Архів оригіналу за 17 березня 2019. Процитовано 19 травня 2018.
• Gröller, E.; Wegenkittl, R.; Milik, A; Prskawetz, A.; Feichtinger, G.; Sanderson, W.C. (1996). The geometry of wonderland. Chaos, Solitons & Fractals. 7: 1989—2006. doi:10.1016/s0960-0779(96)00067-7.
• Herbert, R.D.; Leeves, G. D. (1998). Troubles in Wonderland. Complexity International. 6: 1—20.
• Herbert, R.D.; Bell, R.D.; Leeves, G. D.; Lewis, B.G. (December 12–15, 2005). Economic and Environmental Impacts of Pollution Control in a Multi-Country Model.. У Zerger, A.; Argent, R.M. (ред.). MODSIM05 Proceedings. MODSIM2005. с. 1035—1041.
• Kohring, G.A (2006). Avoiding Chaos in Wonderland. Physica A. 368: 214—224. arXiv:nlin/0602028. doi:10.1016/j.physa.2006.01.061.
• Leeves, G. D.; Herbert, R.D. (2002). Economic and environmental impacts of pollution control in a system of environment and economic interdependence. Chaos, Solitons & Fractals. 13: 693—700. doi:10.1016/s0960-0779(01)00003-0.
• Lempert, R.J.; Popper, S.W.; Bankes, S.C. (2003). Shaping the Next One Hundred Years: New Methods for Quantitative, Long-Term Policy Analysis. Santa Monica: Rand.
• Sanderson, W.C. (1994), Simulation Models of Demographic, Economic, and Environmental Interactions, у Lutz, W. (ред.), Population, Development, Environment: Understanding Their Interactions in Mauritius, Berlin: Springer, с. 33—71
• Wegenkittl, R.; Grõller, E.; Purgathofer, W. (1997). Visualizing the Dynamical Behavior of Wonderland. IEEE Computer Graphics and Applications. 17: 71—79. doi:10.1109/38.626972.