Многочлен Кауфмана

Многочлен Кауфмана — многочлен вузла від двох змінних, запропонований Луїсом Кауфманом. Спочатку був визначений на діаграмі зачеплень як:

$F(K)(a,z)=a^{-w(K)}L(K)$ ,

де $w(K)$ — закрученість діаграми зачеплення і $L(K)$ — многочлен, визнаячений на діаграмі зачеплення з такими властивостями:

• $L(O)=1$ ($O$ — тривіальний вузол);
• $L(s_{r})=aL(s),\qquad L(s_{\ell })=a^{-1}L(s)$ ;
• $L$ не змінюється при застосуванні рухів Рейдемейстера типу II і III.

тут $s$ — нитка, а $s_{r}$ (відповідно, $s_{\ell }$) — та ж нитка з додаванням правого (відповідно, лівого) витка (використовуючи рух Рейдемейстера типу I).

Крім того, $L$ має задовольняти скейн-співвідношенню Кауфмана:

Малюнки представляють многочлен $L$ діаграм, які різні в колі, як показано, але ідентичні зовні^{[уточнити]}

Кауфман показав, що $L$ існує і є регулярним ізотопним інваріантом неорієнтованих зачеплень. Звідки випливає, що $F$ є обхопним ізотопним інваріантом орієнтованих зачеплень.

Многочлен Джонса — особливий вид многочлена Кауфмана, коли $L$ звужується до дужки Кауфмана. Многочлен Кауфмана пов'язаний з калібрувальною теорією Черна — Саймонса для $\mathrm {SO} (N)$ так само, як многочлен HOMFLY пов'язаний з калібрувальною теорією Черна — Саймонса для $\mathrm {SU} (N)$ .

Література

• Louis Kauffman. On Knots. — 1987. — ISBN 0-691-08435-1.

Посилання

• Springer EoM entry for Kauffman polynomial [Архівовано 1 серпня 2010 у Wayback Machine.]
• The_Kauffman_Polynomial [Архівовано 17 лютого 2020 у Wayback Machine.], the Knot Atlas