Метод характеристик

Метод характеристик (англ. Method of characteristics) - метод розв'язання диференціальних рівнянь у частинних похідних. Зазвичай застосовується до рівнянь у частинних похідних першого порядку, проте може бути застосованим і до гіперболічних рівнянь вищого порядку. Метод полягає у приведенні рівняння у частинних похідних до сімейства звичайних диференціальних рівнянь.

Характеристики рівняння першого порядкуРедагувати

Для розв'язання рівняння першого порядку, метод полягає у знаходженні кривих (що зазвичай називаються характеристиками), вздовж яких рівняння в частинних похідних перетворюється на звичайне диференціальне рівняння. Щойно такі звичайні диференціальні рівняння знайдено, їх можна розв'язати вздовж характеристик і потім знайдений розв'язок перетворити на розв'язок первинного рівняння в частинних похідних.

Розглянемо таке квазілінійне рівняння на невідому функцію  

 

Припустимо, що функція on u відомо, і розглянемо поверхню z = u(x,y) в R3. Нормаль до цієї поверхні задається виразом

 

В результаті одержимо [1], що рівняння (1) еквівалентне геометричному твердженню, що векторне поле

 

є дотичним до поверхні z = u(x,y) в кожній точці.

Рівняння характеристик можуть бути записані інваріантним чином [2]

 

або ж, якщо задано певну параметризацію t характеристик, тоді ці рівняння можна записати як систему звичайних диференціальних рівнянь для x(t), y(t), z(t):

 

ПрикладРедагувати

ПосиланняРедагувати

ЛітератураРедагувати

  1. John, 1991
  2. Delgado, 1997