Відкрити головне меню

Методи Рунге — Кутти — важлива група чисельних методів розв’язування (систем) звичайних диференціальних рівнянь. Названі на честь німецьких математиків Карла Рунге і Мартіна Кутти, які відкрили ці методи.

Зміст

Класичний метод Рунге — Кутти 4-го порядкуРедагувати

Метод Рунге — Кутти 4-го порядку настільки широко розповсюджений, що його часто називають просто методом Рунге — Кутти або RK4.

Розглянемо задачу Коші для системи диференціальних рівнянь довільного порядку, що записується у векторній формі як

 .

Тоді значення невідомої функції в точці   обчислюється відносно значення в попередній точці   за формулою:

 ,
 

де   — крок інтегрування, а коефіцієнти   розраховуються таким чином:

 
 
 
 

Це метод 4-го порядку, тобто похибка на кожному кроці становить  , а сумарна похибка на кінцевому інтервалі інтегрування є величиною  .

Прямі методи Рунге — КуттиРедагувати

Група прямих методів Рунге — Кутти є узагальненням методу Рунге — Кутти 4-го порядку. Воно задається формулами

 

де

 
 
 
 
 

Конкретний метод визначається числом   і коефіцієнтами   і  . Ці коефіцієнти часто впорядковують в таблицю

0
   
     
     
         
         

Для коефіцієнтів методу Рунге — Кутти мають справджуватись умови   для  .

Якщо ми хочемо, щоб метод мав порядок  , то варто так само забезпечити умову   де   — наближення, отримане за методом Рунге — Кутти. Після багаторазового диференціювання ця умова перетвориться в систему поліноміальних рівнянь, розв'язки якої є коефіцієнтами методу.

Прямі методи розв'язку жорстких диференціальних рівнянь та їх систем неефективні внаслідок різкого збільшення кількості кроків обчислень (при зменшенні кроку інтегрування  ) чи зростання похибки при недостатньо малому кроці  .

Приклад розв'язання в середовищі MATLABРедагувати

Розв'язання систем диференціальних рівнянь методом Рунге-Кутти є одним з найбільш поширених числових методів розв'язання в техніці. В середовищі MATLAB/Octave (досить поширена і зручна мова програмування для технічних обчислень) реалізований один з його різновидів — метод Дорманда-Принса.

Див. такожРедагувати

ЛітератураРедагувати

  • William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (Розділи 16.1 і 16.2.).