Межа (топологія)

Межа множини — це всі такі точки, які перебувають як завгодно близько і до точок в множині, і до точок поза нею.

Множина (світло-синя) і її межа (темно-синя).

Означення

Нехай є топологічний простір $(X,{\mathcal {T}})$ і підмножина $A\subset X$. Точка $x_{0}\in X$ називається грани́чною точкою підмножини $A$, якщо для будь-якого її околу $U\in {\mathcal {T}},U\ni x_{0}$ справедливо:

$U\cap A\neq \emptyset ,\;U\cap A^{\complement }\neq \emptyset .$

множина всіх граничних точок множини $A$ називається межею і позначається $\partial A.$

Еквівалентні означення. Межа множини $A$ це —

• та частина замикання $A$, що не входить в її внутрішність: $\partial x={\bar {A}}/A^{0}$
• перетин замикання самої множини $A$ та замикання її доповнення $X/A$: $\partial x={\bar {A}}\cap {\overline {X/A}}$

Посилання

• J. R. Munkres (2000). Topology. Prentice-Hall. ISBN 0-13-181629-2.
• S. Willard (1970). General Topology. Addison-Wesley. ISBN 0-201-08707-3.