Твердження
ред.
Нехай
U
⊆
R
d
{\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{d}}
відкрита стягувана множина ,
d
{\displaystyle \mathrm {d} }
зовнішнє диференціювання на множині диференціальних форм визначених на
U
.
{\displaystyle U.}
когомологічні групи де Рама рівні:
H
d
R
k
(
U
)
=
{
0
,
k
>
0
R
,
k
=
0.
{\displaystyle H_{dR}^{k}(U)={\begin{cases}0,&k>0\\\mathbb {R} ,&k=0.\end{cases}}}
Тобто для
k
>
0
{\displaystyle k>0}
k -форма є точною.
Важливим наслідком леми є факт, що на довільному гладкому многовиді довільна замкнута диференціальна форма є локально точною.
Доведення
ред.
Доведення буде подано для часткового випадку зірчатих щодо початку координат областей (цього достатньо, зокрема, для доведення локальної точності замкнутих диференціальних форм).
Для доведення очевидно достатньо побудувати такі лінійні оператори
h
k
:
Ω
k
+
1
(
U
)
→
Ω
k
(
U
)
,
k
⩾
0
,
{\displaystyle h_{k}:\Omega ^{k+1}(U)\rightarrow \Omega ^{k}(U),\;\;k\geqslant 0,}
(
d
∘
h
k
−
1
+
h
k
∘
d
)
(
ω
)
=
ω
,
∀
ω
∈
Ω
k
(
U
)
,
k
>
0.
{\displaystyle (\mathrm {d} \circ h_{k-1}+h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )=\omega ,\;\;\forall \omega \in \Omega ^{k}(U),\;\;k>0.}
Оскільки дані оператори будуть лінійними достатньо визначити їх на диференціальних формах виду
ω
=
g
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
.
{\displaystyle \omega =g\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.}
Для такої диференціальної k -форми означимо
h
k
−
1
(
ω
)
(
x
)
=
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
μ
(
x
)
{\displaystyle h_{k-1}(\omega )(x)=\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mu (x)}
де
μ
=
x
i
1
d
x
i
2
∧
…
∧
d
x
i
k
−
x
i
2
d
x
i
1
∧
d
x
i
3
∧
…
∧
d
x
i
k
+
⋯
+
(
−
1
)
k
x
i
k
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
−
1
.
{\displaystyle \mu =x_{i_{1}}\;\mathrm {d} x_{i_{2}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-x_{i_{2}}\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{3}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}+\cdots +(-1)^{k}x_{i_{k}}\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k-1}}.}
Неважко переконатися, що
d
μ
=
(
k
+
1
)
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
+
1
.
{\displaystyle \mathrm {d} \mu =(k+1)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k+1}}.}
Тепер для
ω
=
g
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
∈
Ω
k
(
U
)
,
x
∈
U
{\displaystyle \omega =g\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\in \Omega ^{k}(U),\;\;x\in U}
d
∘
h
k
−
1
(
ω
)
(
x
)
=
d
[
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
μ
(
x
)
]
=
∑
j
=
1
n
∂
∂
x
j
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
d
x
j
∧
μ
+
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
d
μ
(
x
)
=
∑
j
=
1
n
(
∫
0
1
t
k
−
1
∂
∂
x
j
g
(
t
x
)
d
t
)
d
x
j
∧
μ
+
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
d
μ
(
x
)
=
∑
j
=
1
n
(
∫
0
1
t
k
∂
g
∂
x
j
(
t
x
)
d
t
)
d
x
j
∧
μ
+
k
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \circ h_{k-1}(\omega )(x)=&\mathrm {d} \left[\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mu (x)\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}{\partial \over \partial x_{j}}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.\\\end{aligned}}}
З іншої сторони маємо
h
k
∘
d
(
ω
)
(
x
)
=
h
k
[
∑
j
=
1
n
∂
g
∂
x
j
d
x
i
j
∧
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
]
=
∑
j
=
1
n
(
∫
0
1
t
k
∂
g
∂
x
j
(
t
x
)
d
t
)
[
x
j
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
−
d
x
j
∧
μ
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}h_{k}\circ \mathrm {d} (\omega )(x)&=h_{k}\left[\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}\,\mathrm {d} x_{i_{j}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\left[x_{j}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu \right].\\\end{aligned}}}
З цих двох виразів отримуємо зрештою
(
d
∘
h
k
+
h
k
∘
d
)
(
ω
)
(
x
)
=
[
k
(
∫
0
1
t
k
−
1
g
(
t
x
)
d
t
)
+
∑
j
=
1
n
(
∫
0
1
t
k
∂
g
∂
x
j
(
t
x
)
x
j
d
t
)
]
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
=
[
∫
0
1
(
k
t
k
−
1
g
(
t
x
)
+
t
k
d
d
t
(
g
(
t
x
)
)
d
t
)
]
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
=
[
∫
0
1
(
d
d
t
(
t
k
g
(
t
x
)
)
d
t
)
]
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
=
g
(
x
)
d
x
i
1
∧
…
∧
d
x
i
k
=
ω
(
x
)
,
∀
x
∈
U
.
{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {d} \circ h_{k}+h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )(x)=&\left[k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)+\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)x_{j}dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left(kt^{k-1}g(tx)+t^{k}{d \over dt}(g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left({d \over dt}(t^{k}g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&g(x)\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}=\omega (x),\;\;\forall x\in U.\\\end{aligned}}}
Продовжуючи лінійно визначені оператори маємо
(
d
∘
h
k
+
h
k
+
1
∘
d
)
(
ω
)
=
ω
,
∀
ω
∈
Ω
k
(
U
)
,
k
>
0
,
{\displaystyle (\mathrm {d} \circ h_{k}+h_{k+1}\circ \mathrm {d} )(\omega )=\omega ,\;\;\forall \omega \in \Omega ^{k}(U),\;\;k>0,}
Література
ред.
do Carmo M. Differential Forms and Applications. — Springer Verlag, 1994. — ISBN 978-3540576181 .Singer I., Thorpe J. A. Lecture Notes on Elementary Geometry and Topology. — Springer, 1967. — ISBN 0-387-90202-3 . 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \circ h_{k-1}(\omega )(x)=&\mathrm {d} \left[\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mu (x)\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}{\partial \over \partial x_{j}}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}{\partial \over \partial x_{j}}g(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\mathrm {d} \mu (x)\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu +k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)\;\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e107bb3a91fb2db68b4653999325d58894bf54bc)
![{\displaystyle {\begin{aligned}h_{k}\circ \mathrm {d} (\omega )(x)&=h_{k}\left[\sum _{j=1}^{n}{\partial g \over \partial x_{j}}\,\mathrm {d} x_{i_{j}}\wedge \mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\right]\\&=\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)dt\right)\left[x_{j}\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}-\mathrm {d} x_{j}\wedge \mu \right].\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1474a71d89fd13580169134be1491c5e124e96df)
![{\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {d} \circ h_{k}+h_{k}\circ \mathrm {d} )(\omega )(x)=&\left[k\left(\int _{0}^{1}t^{k-1}g(tx)dt\right)+\sum _{j=1}^{n}\left(\int _{0}^{1}t^{k}{\partial g \over \partial x_{j}}(tx)x_{j}dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left(kt^{k-1}g(tx)+t^{k}{d \over dt}(g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&\left[\int _{0}^{1}\left({d \over dt}(t^{k}g(tx))dt\right)\right]\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}\\=&g(x)\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}=\omega (x),\;\;\forall x\in U.\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee10d696db7de4732a7944978da26397a78a2e72)
