Означення
ред.
Нехай на площині
0
x
y
{\displaystyle 0xy}
задана неперервна крива
A
B
{\displaystyle AB}
довжини
l
{\displaystyle l}
. Розглянемо неперервну функцію
f
(
x
;
y
)
{\displaystyle f(x;y)}
, задану в точках дуги
A
B
{\displaystyle AB}
. Розіб’ємо криву
A
B
{\displaystyle AB}
точками
M
0
=
A
,
M
1
,
M
2
,
.
.
.
,
M
n
=
B
{\displaystyle M_{0}=A,M_{1},M_{2},...,M_{n}=B}
на
n
{\displaystyle n}
довільних дуг
M
i
−
1
M
i
{\displaystyle M_{i}-_{1}M_{i}}
з довжинами відповідно
Δ
l
i
(
i
=
1
;
2
;
.
.
.
;
n
)
{\displaystyle \Delta l_{i}(i=1;2;...;n)}
.
Виберемо на кожній дузі
M
i
−
1
M
i
{\displaystyle M_{i}-_{1}M_{i}}
довільну точку
(
x
i
;
y
i
)
{\displaystyle (x_{i};y_{i})}
і складемо суму:
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
;
y
i
)
Δ
l
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}}
. Її називають інтегральною сумою для функції
f
(
x
;
y
)
{\displaystyle f(x;y)}
по кривій
A
B
{\displaystyle AB}
.
Нехай
λ
=
m
a
x
Δ
l
i
,
1
≤
i
≤
n
{\displaystyle \lambda =max\Delta l_{i},1\leq i\leq n}
- найбільша із довжин дуг поділу. Якщо
λ
→
0
{\displaystyle \lambda \rightarrow 0}
(
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
) існує скінченна границя інтегральних сум, то її називають криволінійним інтегралом від функції
f
(
x
;
y
)
{\displaystyle f(x;y)}
по довжині кривої
A
B
{\displaystyle AB}
, або криволінійним інтегралом І роду від функції
f
(
x
;
y
)
{\displaystyle f(x;y)}
по кривій
A
B
{\displaystyle AB}
і позначають
∫
A
B
f
(
x
;
y
)
d
l
{\displaystyle \int _{AB}f(x;y)\,dl}
або
∫
L
f
(
x
;
y
)
d
l
{\displaystyle \int _{L}f(x;y)\,dl}
. Таким чином, за означенням:
∫
A
B
f
(
x
;
y
)
d
l
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
1
n
f
(
x
i
;
y
i
)
Δ
l
i
{\displaystyle \int _{AB}f(x;y)\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}}
.
Теорема про існування криволінійного інтеграла І роду
ред.
Якщо функція
f
(
x
;
y
)
{\displaystyle f(x;y)}
неперервна в кожній точці гладкої кривої (в кожній точці
(
x
;
y
)
∈
L
{\displaystyle (x;y)\in L}
існує дотична до даної кривої і її положення неперервно змінюється при переміщенні точки по кривій), то криволінійний інтеграл І роду існує і його величина не залежить ні від способу розбиття кривої на частини, ні від вибору точок на них.
Властивості криволінійного інтеграла І роду
ред.
1
{\displaystyle 1}
.
∫
A
B
f
(
x
;
y
)
d
l
=
∫
B
A
f
(
x
;
y
)
d
l
{\displaystyle \int _{AB}f(x;y)\,dl=\int _{BA}f(x;y)\,dl}
, тобто криволінійний інтеграл І роду не залежить від напрямку інтегрування.
2
{\displaystyle 2}
.
∫
L
c
⋅
f
(
x
;
y
)
d
l
=
c
⋅
∫
L
f
(
x
;
y
)
d
l
,
c
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \int _{L}c\cdot f(x;y)\,dl=c\cdot \int _{L}f(x;y)\,dl,c=const}
, тобто сталий множник можна виносити за знак інтеграла.
3
{\displaystyle 3}
.
∫
L
(
f
1
(
x
;
y
)
±
f
2
(
x
;
y
)
)
d
l
=
∫
L
f
1
(
x
;
y
)
d
l
±
∫
L
f
2
(
x
;
y
)
d
l
{\displaystyle \int _{L}(f_{1}(x;y)\pm f_{2}(x;y))\,dl=\int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\pm \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl}
, тобто інтеграл суми (різниці) дорівнює сумі (різниці) інтегралів.
4
{\displaystyle 4}
.
∫
L
f
(
x
;
y
)
d
l
=
∫
L
1
f
(
x
;
y
)
d
l
+
∫
L
2
f
(
x
;
y
)
d
l
{\displaystyle \int _{L}f(x;y)\,dl=\int _{L_{1}}f(x;y)\,dl+\int _{L_{2}}f(x;y)\,dl}
, якщо шлях інтегрування
L
{\displaystyle L}
розбито на частини
L
1
{\displaystyle L_{1}}
і
L
2
{\displaystyle L_{2}}
такі, що
L
=
L
1
⋃
L
2
{\displaystyle L=L_{1}\bigcup L_{2}}
і
L
1
{\displaystyle L_{1}}
та
L
2
{\displaystyle L_{2}}
мають єдину спільну точку.
5
{\displaystyle 5}
. Якщо для точок кривої
L
{\displaystyle L}
виконується нерівність
f
1
(
x
;
y
)
≤
f
2
(
x
;
y
)
{\displaystyle f_{1}(x;y)\leq f_{2}(x;y)}
, то
∫
L
f
1
(
x
;
y
)
d
l
≤
∫
L
f
2
(
x
;
y
)
d
l
{\displaystyle \int _{L}f_{1}(x;y)\,dl\leq \int _{L}f_{2}(x;y)\,dl}
6
{\displaystyle 6}
.
∫
A
B
d
l
=
lim
n
→
∞
∑
i
=
1
n
Δ
l
i
=
l
{\displaystyle \int _{AB}\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}\Delta l_{i}=l}
, де
l
{\displaystyle l}
- довжина кривої
A
B
{\displaystyle AB}
.
7
{\displaystyle 7}
. Якщо функція
f
(
x
;
y
)
{\displaystyle f(x;y)}
неперервна на кривій
A
B
{\displaystyle AB}
, то на цій кривій знайдеться точка
(
x
c
;
y
c
)
{\displaystyle (x_{c};y_{c})}
така, що
∫
A
B
f
(
x
;
y
)
d
l
=
f
(
x
c
;
y
c
)
⋅
l
{\displaystyle \int _{AB}f(x;y)\,dl=f(x_{c};y_{c})\cdot l}
(теорема про середнє).
Обчислення криволінійного інтеграла І роду
ред.
Параметричне задання кривої інтегрування
ред.
Нехай в тривимірному просторі задана гладка дуга
A
B
{\displaystyle AB}
в параметричному вигляді:
L
=
A
B
˘
=
{
x
=
x
(
t
)
y
=
y
(
t
)
z
=
z
(
t
)
α
≤
t
≤
β
{\displaystyle L={\breve {AB}}={\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}\alpha \ \leq \ t\leq \ \beta \ }
, тобто
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
,
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
,
z
(
t
)
{\displaystyle z(t)}
є неперервними на
[
α
;
β
]
{\displaystyle [\alpha ;\beta ]}
. То криволінійний інтеграл 1 роду по даній кривій:
∫
L
f
(
x
,
y
,
z
)
d
l
=
∫
α
β
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
,
z
(
t
)
)
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
+
(
z
′
(
t
)
)
2
d
t
{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y,z)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t),z(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}+(z'(t))^{2}}}\,dt}
Для двовимірного випадку:
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
l
=
∫
α
β
f
(
x
(
t
)
,
y
(
t
)
)
(
x
′
(
t
)
)
2
+
(
y
′
(
t
)
)
2
d
t
{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\alpha \ }^{\beta \ }f(x(t),y(t)){\sqrt {(x'(t))^{2}+(y'(t))^{2}}}\,dt}
Явне задання кривої інтегрування
ред.
Явне задання кривої:
y
=
y
(
x
)
{\displaystyle y=y(x)}
,
x
∈
[
a
,
b
]
{\displaystyle x\in [a,b]}
: f x y dl f x y x y x dx
Полярне задання кривої інтегрування
ред.
Нехай в полярній системі координат крива задана функцією
ρ
=
ρ
(
ϕ
)
,
ϕ
1
≤
ϕ
≤
ϕ
2
{\displaystyle \rho \ =\rho \ (\phi \ ),\phi _{1}\ \leq \ \phi \ \leq \ \phi _{2}\ }
То криволінійний інтеграл 1-го роду по даній кривій:
∫
L
f
(
x
,
y
)
d
l
=
∫
ϕ
1
ϕ
2
f
(
ρ
(
ϕ
)
c
o
s
ϕ
,
ρ
(
ϕ
)
s
i
n
ϕ
)
ρ
2
+
(
ρ
′
(
ϕ
)
)
2
d
ϕ
{\displaystyle \int _{L}^{}f(x,y)\,dl=\int _{\phi _{1}\ }^{\phi _{2}\ }f(\rho \ (\phi \ )cos\phi \ ,\rho \ (\phi \ )sin\phi \ ){\sqrt {\rho ^{2}\ +(\rho \ '(\phi \ ))^{2}}}\,d\phi \ }
Застосування криволінійного інтеграла І роду
ред.
Визначення маси кривої
ред.
Визначення довжини кривої
ред.
Див. також
ред.
Література
ред.