Користувач:Knu mechmat/Границя функції в точці

Границя функції в точці — фундаментальне поняття математичного аналізу, зокрема аналізу функцій дійсної змінної, число, до якого прямує значення функції, якщо її аргумент прямує до заданої точки. Строге математичне означення границі функції дається мовою δ-ε.

Означення

Означення за Коші:

Нехай $A\subset \mathbf {R} ,\quad f:A\to \mathbf {R}$, $x_{0}$ — гранична точка множини A. Число a називається границею функції $f$ у точці $x_{0}$, якщо

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\quad \forall x\in A\cap B(x_{0},\delta )\setminus \{x_{0}\}:|f(x)-a|<\varepsilon$

Позначення:

$a=\lim _{x\to x_{0}}{f(x)}$

або

$f(x)\to a$ при $x\to x_{0}$

Означення за Гейне: Якщо для довільної послідовності точок взятої з області визначення відповідна послідовність значень функції збігається до того самого числа, то це число називають границею функції в точці.

Односторонні границі

Одностороння границя — це границя функції однієї змінної в деякій точці, коли аргумент прямує до значення аргументу у цій точці окремо зі сторони більших аргументів (правостороння границя), або зі сторони менших аргументів (лівостороння границя). Тобто, є сенс говорити про односторонні границі функції у деякій точці тільки тоді, коли у цій точці лівостороння границя функції не дорівнює правосторонній.

• Правосторонню границю прийнято позначати наступним чином:

  $\lim \limits _{x\to a+}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a+0}f(x),\ \ \lim _{x\downarrow a}f(x),\ \ \lim _{x\searrow a}f(x);$

• Для лівосторонньої границі прийняті такі позначення:

  $\lim \limits _{x\to a-}f(x),\ \ \lim \limits _{x\to a-0}f(x),\ \ \lim _{x\uparrow a}f(x),\ \ \lim _{x\nearrow a}f(x).$

• Використовуються також наступні скорочення:
  • $f\left(a+\right)$ і $f\left(a+0\right)$ для правої границі;
  • $f\left(a-\right)$ і $f\left(a-0\right)$ для лівої границі.

Література

• С. Т. Завало (1972). Елементи аналізу. Алгебра многочленів. Київ: Радянська школа.
• М.О.Дзедзінський (2010). Математичний Аналіз для студентів. Львів: Листочок.