Розглянемо взагалі, що таке матриця :Матрицею називають математичний об'єкт , записаний у вигляді прямокутної таблиці чисел (чи елементів кільця ), він допускає операції (додавання , віднімання , множення та множення на скаляр ).Функціональна матриця - це така матриця, елементи якої є функції. Наприклад,
(
c
o
s
(
x
)
s
i
n
(
x
)
−
s
i
n
(
x
)
c
o
s
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}cos(x)&sin(x)\\-sin(x)&cos(x)\end{pmatrix}}}
(
s
i
n
(
x
)
c
o
s
(
x
)
t
g
(
x
)
c
t
g
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}sin(x)&cos(x)\\tg(x)&ctg(x)\end{pmatrix}}}
(
e
a
e
b
e
c
e
−
d
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{a}&e^{b}\\e^{c}&e^{-d}\end{pmatrix}}}
(
l
n
(
x
)
l
n
(
y
)
−
l
n
(
y
)
l
n
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}ln(x)&ln(y)\\-ln(y)&ln(x)\end{pmatrix}}}
(
x
e
x
x
2
e
x
2
x
3
e
x
3
x
4
e
x
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}xe^{x}&x^{2}e^{x^{\,\!2}}\\x^{3}e^{x^{\,\!3}}&x^{4}e^{x^{\,\!4}}\end{pmatrix}}}
Матриця
(
c
o
s
(
x
)
s
i
n
(
x
)
−
s
i
n
(
x
)
c
o
s
(
x
)
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}cos(x)&sin(x)\\-sin(x)&cos(x)\end{pmatrix}}}
прямокутної системи координат на площині.
ред.
1
2
3
4
5
n
{\displaystyle n}
(
a
1
0
a
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}}}
(
a
2
a
0
a
2
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{2}&a\\0&a^{2}\end{pmatrix}}}
(
a
3
3
a
2
0
a
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{3}&3a^{2}\\0&a^{3}\end{pmatrix}}}
(
a
4
4
a
3
0
a
4
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{4}&4a^{3}\\0&a^{4}\end{pmatrix}}}
(
a
5
5
a
4
0
a
5
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{5}&5a^{4}\\0&a^{5}\end{pmatrix}}}
(
a
n
n
a
n
−
1
0
a
n
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a^{n}&na^{n-1}\\0&a^{n}\end{pmatrix}}}
ред.
Нехай, маємо матрицю
A
=
{
a
1
0
a
}
{\displaystyle A={\begin{Bmatrix}a&1\\0&a\end{Bmatrix}}}
Тоді,
d
e
t
A
=
a
2
{\displaystyle detA=a^{2}}
Знаходимо
A
−
1
:
{\displaystyle A^{-1}:}
A
−
1
=
(
a
−
1
0
a
)
1
a
2
=
(
1
/
a
−
1
/
a
2
0
1
/
a
)
{\displaystyle A^{-1}={\begin{pmatrix}a&-1\\0&a\end{pmatrix}}{1 \over a^{2}}={\begin{pmatrix}1/a&-1/a^{2}\\0&1/a\end{pmatrix}}}
Перевірка:
A
A
−
1
=
(
a
1
0
a
)
{\displaystyle AA^{-1}={\begin{pmatrix}a&1\\0&a\end{pmatrix}}}
(
1
/
a
−
1
/
a
2
0
1
/
a
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1/a&-1/a^{2}\\0&1/a\end{pmatrix}}=}
(
a
⋅
1
/
a
+
1
⋅
0
a
⋅
−
1
/
a
2
+
1
/
a
0
⋅
1
/
a
+
a
⋅
0
0
⋅
−
1
/
a
2
+
a
⋅
1
/
a
)
=
{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\cdot 1/a+1\cdot 0&a\cdot -1/a^{2}+1/a\\0\cdot 1/a+a\cdot 0&0\cdot -1/a^{2}+a\cdot 1/a\end{pmatrix}}=}
(
1
0
0
1
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}
