Константа Голомба — Дікмана

У математиці константа Голомба — Дікмана виникає в теорії випадкових перестановок та в теорії чисел.

Константа Голомба — Дікмана
Числове значення	0,624329988544
Підтримується Вікіпроєктом	Вікіпедія:Проєкт:Математика

Її значення дорівнює

$\lambda =0{,}62432998854355087099293638310083724\dots$ послідовність A084945 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Поки невідомо, чи є ця константа раціональною, чи ірраціональною.

Означення

Нехай $a_{n}$ буде середнім (взятим за всіма перестановками множини з $n$ елементів) значенням довжини найдовшого циклу в кожній перестановці, тоді константа Голомба — Дікмана дорівнює

$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}.$

Мовою теорії ймовірностей, $\lambda n$ є асимптотою математичного сподівання довжини найдовшого циклу рівномірно розподіленої випадкової перестановки множини з $n$ елементів.

У теорії чисел константа Голомба — Дікмана потрібна у зв'язку із середнім значенням довжини найбільшого простого дільника цілого числа. Більш точно,

$\lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}},$

де $P_{1}(k)$ — найбільший простий дільник числа $k$. Таким чином, якщо $k$ — $d$-значне ціле число, то $\lambda d$ — асимптота середнього значення кількості знаків найбільшого простого дільника числа $k$.

Константу Голомба — Дікмана можна зустріти в теорії чисел також і в іншій ситуації. Яка ймовірність того, що другий за величиною простий дільник числа $n$ менший від квадратного кореня з найбільшого простого множника числа $n$? Асимптотично ця ймовірність дорівнює $\lambda$, точніше:

$\lambda =\lim _{n\to \infty }\operatorname {Prob} \left\{{P_{2}(n)\leq {\sqrt {P_{1}(n)}}}\right\},$

де $P_{2}(n)$ — другий за величиною простий дільник числа $n$.

Константа Голомба — Дікмана також з'являється у випадку, коли розглядаємо середню довжину найбільшого циклу функції від скінченної множини із значеннями у цій множині. Нехай $X$ — скінченна множина, тоді, якщо ми повторно застосовуємо функцію $f\colon X\rightarrow X$ до будь-якого елементу $X$ цієї множини, то він входить в цикл, і для деякого $k$ маємо: $f^{n+k}(x)=f^{n}(x)$ при достатньо великому $n$. Найменше $k$ з цією властивістю — довжина циклу. Нехай $b_{n}$ буде середнім значенням довжини циклу, взятим за всіма функціями від множини розмірності $n$ із значеннями у цій множині. Пурдон і Вільямс довели, що

$\lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\lambda .$

Формули

Константа $\lambda$ може бути предсталена декількома способами:

$\lambda =\int _{0}^{1}{\rm {e}}^{\operatorname {Li} (t)}\operatorname {d} t,$

де $\operatorname {Li} (t)$ — інтегральний логарифм;

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t-E_{1}(t))}\operatorname {d} t,$

де $E_{1}(t)$ — експоненціальний інтеграл;

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}\operatorname {d} t$

та

$\lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}\operatorname {d} t,$

де $\rho (t)$ — функція Дікмана.

Див. також

• Випадкова перестановка
• Статистика випадкових перестановок

Посилання

• Weisstein, Eric W. Golomb-Dickman Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Finch, Steven R. (2003). Mathematical Constants. Cambridge University Press. с. 284–286. ISBN 0-521-81805-2.