Збіжність за Пуассоном — Абелем

Збіжність за Пуассоном — Абелем — узагальнення поняття збіжності ряду, яке запропонували Пуассон і Абель.

Визначення

Нехай $A$ — числовий ряд $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.$ Ряд $A$ називають збіжним за Пуассоном — Абелем, якщо існує границя:

$\lim _{x\to 1-0}\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}x^{k}=s_{p}(A)$

Приклад

Розглянемо ряд $\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}$. Цей ряд збіжний за Пуассоном — Абелем: $\lim _{x\to 1-0}(1-x+x^{2}-...)=\lim _{x\to 1-0}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}$

Властивості

• Якщо $A$ — збіжний ряд, то він збігається за Пуассоном — Абелем і $s_{p}(A)=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}a_{k}$.
• Якщо ряди $A$ і $B$ збіжні за Пуассоном — Абелем, то і їх добуток $C$ збігається за Пуассоном — Абелем і $s_{p}(A)s_{p}(B)=s_{p}(C)$.

Див. також

• Збіжність за Борелем
• Збіжність за Чезаро
• Збіжність за Ейлером

Література

• Воробьев Н. Н. Теория рядов. — М. : Наука, 1986. — 408 с.