Класичною задачею Коші для рівняння теплопровідності називається задача[1]
u
=
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u=u(x,t)}
{
x
∈
R
,
t
≥
0
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ,t\geq 0\}}
Δ
u
−
1
a
2
∂
u
∂
t
=
−
f
(
x
,
t
)
k
,
x
∈
R
n
,
t
≥
0
{\displaystyle \Delta u-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {f(x,t)}{k}},\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t\geq 0}
u
(
x
,
0
)
=
ϕ
(
x
)
,
x
∈
R
n
,
t
>
0
{\displaystyle u(x,0)=\phi (x),\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0}
ϕ
,
f
{\displaystyle \;\phi ,f}
Дана задача описує процес поширення тепла в необмеженій області (
u
{\displaystyle u}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Класичним розв'язком задачі Коші для рівняння теплопровідності називається функція
u
(
x
,
t
)
∈
C
x
,
t
2
,
1
(
R
n
×
(
0
;
∞
)
)
∩
C
(
R
n
×
[
0
;
∞
)
)
{\displaystyle u(x,t)\in C_{x,t}^{2,1}(\mathbb {R} ^{n}\times (0;\infty ))\cap C(\mathbb {R} ^{n}\times [0;\infty ))}
{
x
∈
R
n
,
t
>
0
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n},\;t>0\}}
{
x
∈
R
n
,
t
=
0
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n},\;t=0\}}
Необхідною умовою існування розв'язку є
ϕ
(
x
)
∈
C
(
R
n
)
,
f
(
x
,
t
)
∈
C
(
R
n
×
(
0
;
∞
)
)
{\displaystyle \phi (x)\in C(\mathbb {R} ^{n}),\;f(x,t)\in C(\mathbb {R} ^{n}\times (0;\infty ))}
Єдиність розв'язку задачі Коші для рівняння теплопровідності:
Якщо в класі неперервних і обмежених функцій існує розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності, то він єдиний.
ред.
[2]
Розглянемо однорідне рівняння теплопровідності
Δ
u
−
1
a
2
∂
u
∂
t
=
0
,
x
∈
R
n
,
t
≥
0
{\displaystyle \Delta u-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u}{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},\;t\geq 0}
Якщо шукати розв'язок цього рівняння методом відокремлення змінних
u
=
X
(
x
)
T
(
t
)
{\displaystyle u=X(x)T(t)}
e
−
a
2
λ
2
t
cos
λ
x
{\displaystyle e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}}
λ
2
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle \lambda ^{2}=const}
Тоді розв'язком буде
I
(
x
,
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
a
2
λ
2
t
cos
λ
x
d
λ
{\displaystyle I(x,t)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda }
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
Диференціювання по
x
{\displaystyle x}
∂
I
(
x
,
t
)
∂
x
=
−
∫
−
∞
+
∞
e
−
a
2
λ
2
t
λ
sin
λ
x
d
λ
=
1
2
a
2
t
∫
−
∞
+
∞
sin
λ
x
d
e
−
a
2
λ
2
t
=
1
2
a
2
t
[
sin
λ
x
e
−
a
2
λ
2
t
|
−
∞
+
∞
−
x
∫
−
∞
+
∞
e
−
a
2
λ
2
t
cos
λ
x
d
λ
]
=
x
2
a
2
t
I
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\lambda \sin {\lambda x}\,d\lambda ={\frac {1}{2a^{2}t}}\int _{-\infty }^{+\infty }\sin {\lambda x}\,de^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\frac {1}{2a^{2}t}}\left[\left.\sin {\lambda x}e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\right|_{-\infty }^{+\infty }-x\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda \right]={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)}
∂
I
(
x
,
t
)
∂
x
=
x
2
a
2
t
I
(
x
,
t
)
{\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)}
I
(
x
,
t
)
=
c
e
−
x
2
4
a
2
t
{\displaystyle I(x,t)=ce^{-{\frac {x^{2}}{4a^{2}t}}}}
I
(
0
,
t
)
=
c
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
a
2
λ
2
t
cos
λ
x
d
λ
|
x
=
0
=
∫
−
∞
+
∞
e
−
a
2
λ
2
t
=
|
a
λ
t
=
ξ
a
t
d
λ
=
d
ξ
d
λ
=
d
ξ
a
t
|
=
1
a
t
∫
−
∞
+
∞
e
−
ξ
2
d
ξ
=
π
a
t
⇒
I
(
x
,
t
)
=
π
a
t
e
−
x
2
4
a
2
t
{\displaystyle I(0,t)=c=\left.{\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda }\right|_{x=0}=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\begin{vmatrix}a\lambda {\sqrt {t}}=\xi \\a{\sqrt {t}}\;d\lambda =d\xi \\d\lambda ={\frac {d\xi }{a{\sqrt {t}}}}\end{vmatrix}}={\frac {1}{a{\sqrt {t}}}}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-\xi ^{2}}\;d\xi ={\frac {\sqrt {\pi }}{a{\sqrt {t}}}}\;\Rightarrow \;I(x,t)={\frac {\sqrt {\pi }}{a{\sqrt {t}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4a^{2}t}}}}
Внаслідок однорідності рівняння,якщо розв'язок поділити на константу то цей вираз буде теж розв'язком.
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
=
1
2
π
I
(
x
−
x
′
,
t
)
=
1
2
a
π
t
e
−
(
x
−
x
′
)
2
4
a
2
t
{\displaystyle \varepsilon (x,x',t)={\frac {1}{2\pi }}I(x-x',t)={\frac {1}{2a{\sqrt {\pi t}}}}e^{-{\frac {(x-x')^{2}}{4a^{2}t}}}}
фундаментальний розв'язок рівняння теплопровідності при
n
=
1
{\displaystyle n=1}
Узагальнення фундаментального розв'язку рівняння теплопровідності для довального
n
{\displaystyle n}
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
=
1
(
2
a
π
t
)
n
e
−
|
x
−
x
′
|
2
4
a
2
t
,
|
x
−
x
′
|
2
=
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
i
′
)
2
,
x
′
{\displaystyle \varepsilon (x,x',t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}t}}},\;|x-x'|^{2}=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i}')^{2},\;x'}
ред.
Фундаментальний розв'язок є не нескінченно диференційованою по
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
x
=
x
′
,
t
=
0
{\displaystyle x=x',t=0}
Функція
ε
{\displaystyle \varepsilon }
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
∫
R
n
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
d
x
′
=
1
,
t
>
0
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\varepsilon (x,x',t)\;dx'=1,\;t>0}
Нехай
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
неперервна і обмежена функція у просторі
{
x
∈
R
,
t
>
0
}
{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ,t>0\}}
lim
t
→
0
+
∫
R
n
f
(
x
′
)
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
d
x
′
=
f
(
x
)
{\displaystyle \lim _{t\to 0+}\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x')\varepsilon (x,x',t)\;dx'=f(x)}
Властивості 3,4 вказують на те, що функція
ε
{\displaystyle \varepsilon }
δ
{\displaystyle \delta }
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
→
δ
(
x
−
x
′
)
,
t
→
0
+
{\displaystyle \;\varepsilon (x,x',t)\;\rightarrow \;\delta (x-x'),\;t\to 0+}
ред.
[2]
Нехай в точці
x
′
∈
R
n
{\displaystyle x'\in \mathbb {R} ^{n}}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
Позначення:
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
t
>
0
{\displaystyle t>0}
d
x
{\displaystyle dx}
ρ
{\displaystyle \rho }
c
{\displaystyle c}
теплоємність .
Для підвищення температури об'єму
d
x
{\displaystyle dx}
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
d
Q
=
ρ
c
u
(
x
,
t
)
d
x
{\displaystyle dQ=\rho cu(x,t)dx}
∫
R
n
ρ
c
u
(
x
,
t
)
d
x
=
1
{\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\rho cu(x,t)dx=1}
Підінтегральна функція
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)}
ρ
c
u
(
x
,
t
)
{\displaystyle \rho cu(x,t)}
Такі властивості має і фундаментальний розв'язок, отже, можна покласти
ρ
c
u
(
x
,
t
)
=
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
{\displaystyle \;\rho cu(x,t)=\varepsilon (x,x',t)}
u
(
x
,
t
)
=
1
ρ
c
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\rho c}}\varepsilon (x,x',t)}
Таким чином, фундаментальний розв'язок з точністю до множника
1
ρ
c
{\displaystyle {\frac {1}{\rho c}}}
x
{\displaystyle x}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
0
{\displaystyle 0}
Функцію
ε
{\displaystyle \varepsilon }
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x'}
0
<
t
1
<
t
2
<
⋯
{\displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<\cdots }
1
{\displaystyle 1}
ред.
Розв'язок задачі Коші має вигляд
u
(
x
,
t
)
=
u
1
(
x
,
t
)
+
u
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle u(x,t)=u_{1}(x,t)+u_{2}(x,t)}
де
u
1
(
x
,
t
)
{\displaystyle u_{1}(x,t)}
Δ
u
1
−
1
a
2
∂
u
1
∂
t
=
0
,
x
∈
R
n
,
t
>
0
{\displaystyle \Delta u_{1}-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u_{1}}{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}
u
1
|
t
=
0
=
ϕ
(
x
)
,
x
∈
R
n
{\displaystyle \left.u_{1}\right|_{t=0}=\phi (x),\;x\in \mathbb {R} ^{n}}
u
2
(
x
,
t
)
{\displaystyle u_{2}(x,t)}
Δ
u
2
−
1
a
2
∂
u
2
∂
t
=
−
f
k
,
x
∈
R
n
,
t
>
0
{\displaystyle \Delta u_{2}-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial u_{2}}{\partial t}}=-{\frac {f}{k}},\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}
u
2
|
t
=
0
=
0
,
x
∈
R
n
{\displaystyle \left.u_{2}\right|_{t=0}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n}}
u
1
(
x
,
t
)
=
∫
R
n
ϕ
(
x
′
)
ε
(
x
,
x
′
,
t
)
d
x
′
{\displaystyle u_{1}(x,t)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x')\varepsilon (x,x',t)\;dx'}
u
2
(
x
,
t
)
=
∫
0
t
η
(
x
,
t
,
t
0
)
d
t
0
{\displaystyle u_{2}(x,t)=\int _{0}^{t}\eta (x,t,t_{0})\;dt_{0}}
де функція
η
{\displaystyle \eta }
Δ
η
−
1
a
2
∂
η
∂
t
=
0
,
x
∈
R
n
,
t
>
0
{\displaystyle \Delta \eta -{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}=0,\;x\in \mathbb {R} ^{n},t>0}
η
(
x
,
t
,
t
0
)
|
t
=
t
0
=
a
2
k
f
(
x
,
t
0
)
,
x
∈
R
n
{\displaystyle \left.\eta (x,t,t_{0})\right|_{t=t_{0}}={\frac {a^{2}}{k}}f(x,t_{0}),\;x\in \mathbb {R} ^{n}}
η
(
x
,
t
,
t
0
)
=
∫
R
n
a
2
k
f
(
x
′
,
t
0
)
ε
(
x
,
x
′
,
t
−
t
0
)
d
x
′
{\displaystyle \eta (x,t,t_{0})=\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {a^{2}}{k}}f(x',t_{0})\varepsilon (x,x',t-t_{0})\;dx'}
Таким чином, розв'язок задачі Коші для рівняння теплопровідності має вигляд:
u
(
x
,
t
)
=
1
(
2
a
π
t
)
n
∫
R
n
ϕ
(
x
′
)
e
−
|
x
−
x
′
|
2
4
a
2
t
d
x
′
+
{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t}})^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x')e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}t}}}\;dx'+}
+
∫
0
t
∫
R
n
1
(
2
a
π
(
t
−
t
0
)
)
n
a
2
k
f
(
x
′
,
t
0
)
e
−
|
x
−
x
′
|
2
4
a
2
(
t
−
t
0
)
d
x
′
d
t
0
{\displaystyle +\int _{0}^{t}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (t-t_{0})}})^{n}}}{\frac {a^{2}}{k}}f(x',t_{0})e^{-{\frac {|x-x'|^{2}}{4a^{2}(t-t_{0})}}}\;dx'\,dt_{0}}
формула Пуассона
↑ Алтунин К.К. Методы математической физики. – М.: Директ-Медиа, 2014. – 123 с.
↑ а б Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1969. – 288 с.
![{\displaystyle {\frac {\partial I(x,t)}{\partial x}}=-\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\lambda \sin {\lambda x}\,d\lambda ={\frac {1}{2a^{2}t}}\int _{-\infty }^{+\infty }\sin {\lambda x}\,de^{-a^{2}\lambda ^{2}t}={\frac {1}{2a^{2}t}}\left[\left.\sin {\lambda x}e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\right|_{-\infty }^{+\infty }-x\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-a^{2}\lambda ^{2}t}\cos {\lambda x}\,d\lambda \right]={\frac {x}{2a^{2}t}}I(x,t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa272a2d022c9b55ec05fd6133f6afd5bfdde57b)
