Завихреність

Завихреність — властивість руху рідини або газу, при якому в середовищі існують «вихори» — обертові елементи об'єму. Кількісною мірою завихреності служить ротор швидкості ${\omega =\operatorname {rot} ~v}$ ; ω називають псевдовектором вихору або просто завихреністю. Рух з ненульовою завихреністю називається вихровим рухом, на відміну від потенційного — безвихрового руху.

Опис

Еквівалентною мірою завихреності, більш зручною в теоретичних побудовах, є антисиметрична частина тензора градієнта швидкості $\Omega ={\frac {1}{2}}(\nabla v-\nabla v_{T})$

В декартових координатах $x_{1}$ , $x_{2}$ , $x_{3}$ зв'язок компонент вектора $\omega$ і тензора $\Omega$ дається виразами

$\omega _{1}=2\cdot \Omega _{23}$ ,
$\omega _{2}=2\cdot \Omega _{31}$ ,
$\omega _{3}=2\cdot \Omega _{12}$ ,
$\Omega _{ij}={\frac {1}{2}}({\frac {dv_{i}}{dx_{j}}}-{\frac {dv_{j}}{dx_{i}}})$ .

У в'язкій рідині відбувається вирівнювання — дифузія локалізованих завихреностей, причому роль коефіцієнта дифузії відіграє кінематична в'язкість рідини $\nu$ . Еволюція завихреності в'язкої нестисливої рідини визначається рівнянням

${\frac {d\omega }{dt}}=(\omega \nabla )u+\nu \triangledown ^{2}\omega$ .

Завихреність пов'язана з функцією струменю через оператор Лапласа: $\omega =\triangle \phi$

Коли мова йде про векторне поле, що є полем швидкостей деякого середовища, ротор цього векторного поля в заданій точці дорівнює подвоєному вектору кутового обертання елемента середовища з центром в цій точці.

Візуалізація

Один зі способів візуалізувати завихреність — це уявити, що миттєво, крихітна частина континууму стає суцільною, а решта потоку зникає. Якщо ця маленька нова тверда частинка обертається, а не просто рухатися з потоком, то в потоці є завихрення. На рисунку нижче, ліва підгрупа не демонструє завихрення, а права — наявність завихрення.

Див. також

Примітки

Література

Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. 6 изд., ч. 1. — М., 1963 (рос.)
Седов Л. И. Механика сплошной среды, т. 1-2, 4 изд. — М., 1983—84 (рос.)
Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости, пер. с англ. — М., 1973 (рос.)