Інтегральне правило Лейбніца

Формальне твердженняРедагувати

Нехай f(x, t) — це функція така, що часткова похідна f щодо t існує і є неперервною. Тоді,

 

ДоведенняРедагувати

Нехай

 

де a і b — функції від α, що мають прирости Δa і Δb, відповідно, коли α збільшують на Δα. Тоді,

 

Використовуючи теорему про середнє значення у формі,  , де a < ξ < b, до першого і останнього інтегралів у формулі для Δφ вище, маємо

 

Ділячи на Δα і спрямовуючи Δα → 0, і зауважуючи, що ξ1a і ξ2b, і використовуючи наступне

 

отримуємо загальну форму інтегрального правила Лейбніца:

 

Графічне поясненняРедагувати

На зображенні горизонтальна вісь це вісь  . Ми маємо, що різні значення   дають різні функції від  .

Згідно з правилом Лейбніца, границі   змінюватимуться зі зміною  . Отже, зі зміною   маємо три внески у зміну інтеграла:

  1. Змінюється нижня границя. Площа під кривою зменшується приблизно на жовту область
     
  2. Змінюється верхня границя. Подібним чином
     
  3. Змінюється інтегранд. Його площа зменшується на синю область і збільшується на область морського кольору.
     

Сумарна зміна дає нам формулу Лейбніца.

ПосиланняРедагувати