Формальне твердження
ред.
Нехай f (x , t ) — це функція така, що часткова похідна f щодо t існує і є неперервною. Тоді,
d
d
t
(
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
f
(
x
,
t
)
d
x
)
=
∫
a
(
t
)
b
(
t
)
∂
f
∂
t
d
x
+
f
(
b
(
t
)
,
t
)
⋅
b
′
(
t
)
−
f
(
a
(
t
)
,
t
)
⋅
a
′
(
t
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\int _{a(t)}^{b(t)}f(x,t)\,\mathrm {d} x\right)=\int _{a(t)}^{b(t)}{\frac {\partial f}{\partial t}}\,\mathrm {d} x\,+\,f{\big (}b(t),t{\big )}\cdot b'(t)\,-\,f{\big (}a(t),t{\big )}\cdot a'(t)}
Доведення
ред.
Нехай
φ
(
α
)
=
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
,
{\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x,}
де a і b — функції від α, що мають прирости Δa і Δb , відповідно, коли α збільшують на Δα. Тоді,
Δ
φ
=
φ
(
α
+
Δ
α
)
−
φ
(
α
)
=
∫
a
+
Δ
a
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
∫
a
+
Δ
a
a
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
−
∫
a
b
f
(
x
,
α
)
d
x
=
−
∫
a
a
+
Δ
a
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
+
∫
a
b
[
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
]
d
x
+
∫
b
b
+
Δ
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}
Використовуючи теорему про середнє значення у формі,
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
=
(
b
−
a
)
f
(
ξ
)
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=(b-a)f(\xi )}
a < ξ < b , до першого і останнього інтегралів у формулі для Δφ вище, маємо
Δ
φ
=
−
Δ
a
f
(
ξ
1
,
α
+
Δ
α
)
+
∫
a
b
[
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
]
d
x
+
Δ
b
f
(
ξ
2
,
α
+
Δ
α
)
{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,\mathrm {d} x+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )}
Ділячи на Δα і спрямовуючи Δα → 0, і зауважуючи, що ξ1 → a і ξ2 → b , і використовуючи наступне
lim
Δ
α
→
0
∫
a
b
f
(
x
,
α
+
Δ
α
)
−
f
(
x
,
α
)
Δ
α
d
x
=
∫
a
b
d
d
α
f
(
x
,
α
)
d
x
{\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x}
отримуємо загальну форму інтегрального правила Лейбніца:
d
φ
d
α
=
∫
a
b
d
d
α
f
(
x
,
α
)
d
x
+
f
(
b
,
α
)
d
b
d
α
−
f
(
a
,
α
)
d
a
d
α
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x+f(b,\alpha ){\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} \alpha }}}
Графічне пояснення
ред.
На зображенні горизонтальна вісь це вісь
x
{\displaystyle x}
t
{\displaystyle t}
x
{\displaystyle x}
Згідно з правилом Лейбніца, границі
a
,
b
{\displaystyle a,b}
t
{\displaystyle t}
t
{\displaystyle t}
Змінюється нижня границя. Площа під кривою зменшується приблизно на жовту область
d
A
1
=
−
d
a
f
(
x
,
a
)
=
−
d
t
d
a
d
t
f
(
x
,
a
)
.
{\displaystyle dA_{1}=-da\ f(x,a)=-dt{\frac {da}{dt}}f(x,a).}
Змінюється верхня границя. Подібним чином
d
A
2
=
d
b
f
(
x
,
b
)
=
d
t
d
b
d
t
f
(
x
,
b
)
.
{\displaystyle dA_{2}=db\ f(x,b)=dt{\frac {db}{dt}}f(x,b).}
Змінюється інтегранд. Його площа зменшується на синю область і збільшується на область морського кольору.
d
A
3
=
∫
a
b
[
f
(
x
,
t
+
d
t
)
−
f
(
x
,
t
)
]
d
x
=
∫
a
b
δ
f
δ
t
d
t
d
x
=
d
t
∫
a
b
δ
f
δ
t
d
x
.
{\displaystyle dA_{3}=\int _{a}^{b}[f(x,t+dt)-f(x,t)]dx=\int _{a}^{b}{\frac {\delta f}{\delta t}}dt\ dx=dt\int _{a}^{b}{\frac {\delta f}{\delta t}}dx.}
Сумарна зміна дає нам формулу Лейбніца.
Література
ред.
Посилання
ред.
В іншому мовному розділі є повніша стаття Leibniz integral rule (англ.) . Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою
перекладу з англійської.
(січень 2020)
Дивитись автоперекладену версію статті з мови «англійська».Перекладач повинен розуміти, що відповідальність за кінцевий вміст статті у Вікіпедії несе саме автор редагувань. Онлайн-переклад надається лише як корисний інструмент перегляду вмісту зрозумілою мовою. Не використовуйте невичитаний і невідкоригований машинний переклад у статтях української Вікіпедії!
Машинний переклад Google є корисною відправною точкою для перекладу, але перекладачам необхідно виправляти помилки та підтверджувати точність перекладу, а не просто скопіювати машинний переклад до української Вікіпедії.
Не перекладайте текст, який видається недостовірним або неякісним. Якщо можливо, перевірте текст за посиланнями, поданими в іншомовній статті.
Докладні рекомендації: див. Вікіпедія:Переклад .
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x\\&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,\mathrm {d} x\\&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/627d6d50279f6ba6c2bce8d300a1961a021759b7)
![{\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,\mathrm {d} x+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13224932bc3d4fd64faa74ed05b1f7b089cd0f1b)
![{\displaystyle dA_{3}=\int _{a}^{b}[f(x,t+dt)-f(x,t)]dx=\int _{a}^{b}{\frac {\delta f}{\delta t}}dt\ dx=dt\int _{a}^{b}{\frac {\delta f}{\delta t}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a085d2bf74ec45a6a7ef1e2a1a22c7cae7ca3bc1)