Гіпотеза Крамера — теоретико-числова гіпотеза, сформульована шведським математиком Крамером в 1936 році,[1] яка стверджує, що

де означає nпросте число, а O — це O велике. Коротко кажучи, це означає, що прогалини між послідовними простими завжди маленькі. За гіпотезою, всі прості числа повинні відповідати межі

Ця гіпотеза поки що не доведена і не спростована.

Евристичне обґрунтування ред.

Гіпотеза Крамера ґрунтується на ймовірнісній моделі (істотно евристичній) розподілу простих чисел, в якій передбачається, що ймовірність того, що натуральне число x є простим, дорівнює приблизно  . Ця модель відома як Модель простих Крамера. Крамер довів у своїй моделі, що згадана гіпотеза істинна з імовірністю 1.[1]

Доведені результати про прогалини між простими числами ред.

Крамер також дав умовний доказ слабшого твердження про те, що

 

припускаючи істинною гіпотезу Рімана.[1]

З іншого боку, E. Westzynthius довів в 1931 році, що величина пробілів між простими більша, ніж логарифмічна. Тобто,[2]

 

Гіпотеза Крамера-Гренвіля ред.

 
Функція прогалин між простими числами

Даніель Шенкс[en] запропонував гіпотезу про асимптотичну рівність для найбільших прогалин між простими, дещо більш сильну, ніж гіпотеза Крамера.[3]

У ймовірнісній моделі,

  де  

Але константа   можливо не така, як для простих, за теоремою Маєра[en]. Ендрю Гренвіль в 1995 році стверджував, що константа  [4], де   — Стала Ейлера—Маскероні.

В праці[5] М. Вольф запропонував формулу для максимальної відстані   між подальшими прямими числами меншими за  , що виражена через функцію розподілу простих чисел  :

 

де  , а   є константа простих-близнюків.

Томас Найслі обчислив багато найбільших прогалин між простими.[6] Він перевірив якість гіпотези Крамера, вимірявши частку R логарифма простих до квадратного кореня розміру прогалини між простими; він писав, «Для найбільших відомих прогалин, R залишається рівним приблизно 1,13», що показує, як мінімум в діапазоні його обчислень, що гренвіллево поліпшення гіпотези Крамера бачиться як найкраще наближення для даних.

Примітки ред.

  1. а б в Cramér, Harald (1936), On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 2: 23—46, архів оригіналу (PDF) за 23 липня 2018, процитовано 31 жовтня 2015.
  2. Westzynthius, E. (1931), Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingfors, 5: 1—37.
  3. Shanks, Daniel (1964), On Maximal Gaps between Successive Primes, Mathematics of Computation, American Mathematical Society, 18 (88): 646—651, doi:10.2307/2002951, JSTOR 2002951.
  4. Granville, A. (1995), Harald Cramér and the distribution of prime numbers (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1: 12—28, архів оригіналу (PDF) за 23 вересня 2015, процитовано 31 жовтня 2015.
  5. Wolf, Marek (2014), Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos, Phys. Rev. E, 89: 022922
  6. Nicely, Thomas R. (1999), New maximal prime gaps and first occurrences, Mathematics of Computation, 68 (227): 1311—1315, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0, MR 1627813, архів оригіналу за 30 грудня 2014, процитовано 31 жовтня 2015.

Див. також ред.

Посилання ред.