Гіпердійсні числа

Гіпердійсні числа (англ. hyper-real number) — розширення поля дійсних чисел $\mathbb {R}$, яке містить числа, більші, ніж усі такі, що подаються у вигляді суми

$1+1+\cdots +1.$

Термін було введено американським математиком Едвіном Хьюіттом 1948 року.

Формальне означення

Система гіпердійсних чисел являє собою строгий метод числення нескінченних і нескінченно малих величин. Множина гіпердійсних чисел $^{*}\mathbb {R}$ являє собою впорядковане поле, розширення поля дійсних чисел $\mathbb {R}$, яке містить числа, більші, ніж усі такі, що можна подаюти у вигляді скінченної суми $1+1+\cdots +1.$ Кожне таке число нескінченно велике, а обернене йому — нескінченно мале.

Гіпердійсні числа задовольняють принцип перенесення — строгий варіант евристичного закону неперервності Лейбніца. Принцип перенесення стверджує, що ствердження у логіці першого порядку про $\mathbb {R}$ справедливі і для $^{*}\mathbb {R}$. Наприклад, правило комутативності додавання х + у = у + х, справедливе для гіпердійсних чисел так само, як і для дійсних.

Література

Успенский В. А. (1987). Что такое нестандартный анализ? М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы.