Відкрити головне меню

Гранична точка множини або точка скупчення множини чи точка згущення множини — це така точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок даної множини.

ВизначенняРедагувати

Нехай дано топологічний простір  , де   — довільна множина, а   — означена на   топологія. Нехай також задано підмножину  . Точка   називається граничною точкою множини  , якщо для будь-якої відкритої множини  , такої що   виконується

 .


У випадку якщо  , точка   називається граничною точкою множини A, якщо  

Для послідовності точок   в топологічному просторі граниною точкою   буде називатись точка, будь-який окіл якої містить нескінченну кількість точок   послідовності.

Зв'язані поняттяРедагувати

  • Сукупність всіх граничних точок множини A називається її похідною множиною і позначається  .
  • Об'єднання самої множини A з її похідною множиною A' називається замиканням множини і позначається   або  .

ВластивостіРедагувати

  • У метричних просторах, якщо x — гранична точка A, то існує послідовність  , що цілком лежить в A і така, що   при  .
    • Топологічні простори, для яких виконується ця властивість, називаються простори Фреше — Урисона
  • Не всяка точка множини A зобов'язана бути граничною. І навпаки, гранична точка множини не зобов'язана їй належати.
  • Будь-яка нескінченна і обмежена підмножина евклідового простору має хоч би одну граничну точку.
  • Границя послідовності точок в топологічному просторі   завжи є точкою згущення цієї послідовності, проте в загальному випадку, не кожна гранична точка є границею послідовності. У випадку, якщо для будь-якої граничної точки будь-якої послідовності можливий вибір підпослідовності, що збігається до неї, то топологічний простір   задовільняє першу аксіому зліченності.