Відповідність між множинами

Відповідністю між множинами A і B в теорії множин називається будь-яка підмножина C декартового добутку A×B. Якщо (a, b)∈C, то кажуть, що елемент b відповідає елементу a при відповідності C.

В математичній літературі також інколи прийнято вважати поняття відповідності між множинами синонімом поняття відношення між множинами. Тут ці поняття розрізняються.

Графіки відповідностей

Відповідність можна задавати графіком відповідності. Нехай А={1,2,3,4,5} і B={a, b, c, d}, а C = {(1,a), (1,d), (2,с), (2,d), (3,b), (5,a), (5,b)} — відповідність між A і B. Позначимо через 1,2,3,4,5 вертикальні прямі, а через a, b, c, d — горизонтальні прямі на координатній площині.

Графік відповідності

Діаграма відповідності

Тоді виділені вузли на перетині цих прямих позначають елементи відповідності C і утворюють графік відповідності.

Для задання невеликих скінченних відповідностей є діаграма або граф відповідності. В одній колонці розташовують точки, позначені елементами множини A, у колонці праворуч — точки, позначені елементами множини B. З точки a першої колонки проводимо стрілку в точку b другої колонки тоді і тільки тоді, коли пара (a, b) належить заданій відповідності.

Іноді відповідність між двома множинами (з узагальненням на довільну кількість множин) визначають саме як кортеж (A, B, G_AB), де A, B — множини, між якими встановлюється відповідність, а G_AB = A×B — графік відповідності

Область визначення та область значень

Дивись також Область значень та область визначення відображення (функції)

Припустимо, що C∈A×B деяка відповідність. Проєкція множини Pr₁ C називається областю визначення, а множина Pr₂C — областю значень відповідності C.

Якщо Pr₁ C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образ та прообраз

Дивись також Образ та прообраз відображення (функції)

Образом елемента a∈Pr₁ C при відповідності C називається множина всіх елементів b∈Pr₂ C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента b∈Pr₂ C при відповідності C називається множина всіх тих елементів a∈Pr₁ C, яким відповідає елемент b.

Якщо A∈Pr₁ C, то образом множини A при відповідності C називається об'єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз множини B∈Pr₂ C.

Обернена відповідність

Дивись також Обернене відображення (функція)

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що D ={(b, a) | (a, b)∈C}.

Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C^-1.

Композиція відповідностей

Дивись також Композиція відображень (функцій)

Якщо задано відповідності $~R_{1}\subseteq A\times B$ і $~R_{2}\subseteq B\times C$, то композицією відповідностей $~R_{1}$ і $~R_{2}$ (позначається $~R_{1}\circ R_{2}$) називається відповідність $~R$ між множинами $~A$ і $~C$ така, що

$~R=\{\langle a,c\rangle |\ \ \exists b\ (b\in B\ \land \ \langle a,b\rangle \in R_{1}\ \land \ \langle b,c\rangle \in R_{2}\}$.

Відповідності, функції та відображення

У математичній літературі прийнято називати відповідність C⊆A×B функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові a∈Pr₁ C відповідає тільки один елемент з Pr₂ C.

Термін відображення зазвичай вживається як синонім функції, але деякі джерела схильні розрізняти ці поняття, причому в одних функцією називається таке відображення, яке є всюди визначеним, а в інших — навпаки: відображенням вважається така функція, яка є всюди визначеною.

Див. також

• Відображення
• Декартів добуток множин

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)