Викривлений добуток

Викривлений добуток риманових, а також псевдориманових многовидів — узагальнення прямого добутку.

Означення

Нехай $B=(B,g)$ і $F=(F,h)$ — два псевдориманових многовида і $f\colon B\to \mathbb {R}$ гладка позитивна функція. Тоді добуток $B\times F$ з метрикою $g\oplus (f^{2}\cdot h)$ називається викривленим добутком $B=(B,g)$ і $F=(F,h)$ за функцією $f$. Точніше, дотичний простір $\mathrm {T} _{(b,x)}(B\times F)$ можна ідентифікувати з добутком дотичних просторів $\mathrm {T} _{b}B\times \mathrm {T} _{x}F$ і значить на ньому можна розглянути пряму суму квадратичних форм $g\oplus (f^{2}\cdot h)$, вона і визначається як метричний тензор в точці $(b,x)$.

Викривлений добуток $(B\times F,g\oplus (f^{2}\cdot h))$ зазвичай позначається $F{\mathrel {{\times }_{f}}}B$.

Функція $f$ також називається функцією викривлення. Простір $B=(B,g)$ називається базою, а простір $B=(B,g)$ — шаром викривленого добутку.