Визначникова тотожність Сильвестра

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.

Тотожність стверджує, що якщо A і B є матрицями розмірів m × n і n × m відповідно, тоді

$\det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA),\$

де I_a — одинична матриця порядку a.

Це визначниковий аналог матричної тотожності Вудбурі.

Доведення

Тотожність можна довести таким чином. Нехай M буде матрицею, що складається з чотирьох блоків I_m, −A, B і I_n:

$M={\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}$.

Оскільки I_m є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

$\det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{m})\det(I_{n}-BI_{m}^{-1}(-A))=\det(I_{n}+BA)$.

Оскільки I_n є оборотною, формула визначника блокової матриці дає

$\det {\begin{pmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{pmatrix}}=\det(I_{n})\det(I_{m}-(-A)I_{n}^{-1}B)=\det(I_{m}+AB)$.

Отже,

$\det(I_{n}+BA)=\det(I_{m}+AB)$.