Матрична тотожність Вудбурі

Матрична тотожність Вудбері

де матриці A розміру n×n, U розміру n×k, C розміру k×k і V розміру k×n.

Використовується для обернення блочної матриці.

Доведення через систему матричних рівняньРедагувати

Розв'язуючи систему матричних рівнянь

 

Отримаємо систему з двох рівнянь   та  , вилучимо Y з першого рівняння:  .

Перетворимо перше рівняння так  , і підставимо його в друге рівняння  .

Отримаємо  , чи  .

Підставимо Y в  , і отримаємо  . Отримаємо

 

Доведення через LDU розклад матриціРедагувати

В матриці

 

для обнулення елемента під A (дано що A невироджена) домножимо зліва на ліву трикутну матрицю,

а для обнулення елемента над C домножимо справа на праву трикутну матрицю.

Отримаємо LDU розклад блочної матриці

 

Проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

   
 
 

Також можна записати UDL розклад блочної матриці (дано що C невироджена)

 

Знову проінвертуємо обидві сторони і перенесемо трикутні матриці направо

   
 
 

Порівняємо елементи (1,1) матриць (1) та (2) і отримаємо тотожність Вудбері:

 

Часткові випадкиРедагувати

Якщо n = k та U = V = In, тоді

 

Якщо k = 1 та C = Ik, тоді U буде вектором-стовпцем u, та V буде вектором-рядком vT. Тоді

  — має назву формули Шермана — Моррісона.

Якщо A = In та C = Ik, тоді

 

зокрема, справедливо