Арифметико-геометрична прогресія — в математиці , це послідовність, що є результатом покомпонентного множення членів арифметичної та геометричної прогресій. Члени прогресії:
t
1
=
A
1
G
1
=
a
b
t
2
=
A
2
G
2
=
(
a
+
d
)
b
r
t
3
=
A
3
G
3
=
(
a
+
2
d
)
b
r
2
⋮
t
n
=
A
n
G
n
=
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=A_{1}G_{1}=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=A_{2}G_{2}=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=A_{3}G_{3}=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=A_{n}G_{n}=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}
Сума перших n
S
n
=
∑
k
=
1
n
t
k
=
∑
k
=
1
n
[
a
+
(
k
−
1
)
d
]
b
r
k
−
1
=
a
b
+
[
a
+
d
]
b
r
+
[
a
+
2
d
]
b
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
b
r
n
−
1
.
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}.}
З замкнененому вигляді :
S
n
=
a
b
−
(
a
+
n
d
)
b
r
n
1
−
r
+
d
b
r
1
−
r
n
(
1
−
r
)
2
=
A
1
G
1
−
A
n
+
1
G
n
+
1
1
−
r
+
d
r
G
1
−
G
n
+
1
(
1
−
r
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {ab-(a+nd)\,br^{n}}{1-r}}+dbr{\frac {1-r^{n}}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}-A_{n+1}G_{n+1}}{1-r}}+dr{\frac {G_{1}-G_{n+1}}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}
Обчислимо Sn - r Sn телескопічних рядів :
S
n
−
r
⋅
S
n
=
[
a
+
(
a
+
d
)
r
+
(
a
+
2
d
)
r
2
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
r
n
−
1
]
−
[
a
r
+
(
a
+
d
)
r
2
+
(
a
+
2
d
)
r
3
+
⋯
+
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
r
n
]
=
a
+
d
(
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
−
[
a
+
(
n
−
1
)
d
]
r
n
=
a
+
d
r
(
1
+
r
+
r
2
+
⋯
+
r
n
−
1
)
−
(
a
+
n
d
)
r
n
=
a
+
d
r
(
1
−
r
n
)
1
−
r
−
(
a
+
n
d
)
r
n
,
{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-r\cdot S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\end{aligned}}}
в передостанній строці використали формулу суми геометричної прогресії .
при −1 < r < 1, ряд є збіжним з сумою
S
=
∑
k
=
1
∞
t
k
=
lim
n
→
∞
S
n
=
a
b
1
−
r
+
d
b
r
(
1
−
r
)
2
=
A
1
G
1
1
−
r
+
d
G
1
r
(
1
−
r
)
2
.
{\displaystyle {\begin{aligned}S&=\sum _{k=1}^{\infty }t_{k}=\lim _{n\to \infty }S_{n}\\&={\frac {ab}{1-r}}+{\frac {dbr}{(1-r)^{2}}}\\&={\frac {A_{1}G_{1}}{1-r}}+{\frac {dG_{1}r}{(1-r)^{2}}}.\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}t_{1}&=A_{1}G_{1}=\color {blue}a\color {green}b\\t_{2}&=A_{2}G_{2}=\color {blue}(a+d)\color {green}br\\t_{3}&=A_{3}G_{3}=\color {blue}(a+2d)\color {green}br^{2}\\&\ \,\vdots \\t_{n}&=A_{n}G_{n}=\color {blue}[a+(n-1)d]\color {green}br^{n-1}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a6438b42844273475a624c579688f05da0eff)
![{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}t_{k}=\sum _{k=1}^{n}\left[a+(k-1)d\right]br^{k-1}=ab+[a+d]br+[a+2d]br^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]br^{n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a0fc74067913a79ff576c345a16a79a0d50e39e)
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}-r\cdot S_{n}={}&\left[a+(a+d)r+(a+2d)r^{2}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n-1}\right]\\[5pt]&{}-\left[ar+(a+d)r^{2}+(a+2d)r^{3}+\cdots +[a+(n-1)d]r^{n}\right]\\[5pt]={}&a+d\left(r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left[a+(n-1)d\right]r^{n}\\[5pt]={}&a+dr\left(1+r+r^{2}+\cdots +r^{n-1}\right)-\left(a+nd\right)r^{n}\\[5pt]={}&a+{\frac {dr(1-r^{n})}{1-r}}-(a+nd)r^{n},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89d44c04266131b6fb3a31f934145f7831de5a89)
