Алгебра Фреше

Алгебра Фреше $(A,q_{n})$ - комплексна топологічна алгебра, локально опуклий метризовуваний простір $X$, наділений структурою алгебри, причому алгебричні операції у ньому є неперервними. Напівнорми $q_{n}$ на $A$ породжують локально опуклу топологію на $X$, їх можна обрати мультиплікативно опуклими. Іншими словами, топологія на $X$ задається деякою зліченною системою напівнорм $q_{j}$ таких, що

$q_{j}(xy)\leq q_{j}(x)q_{j}(y),\quad \quad \forall x,y\in X,\,\,j=1,...,\infty .$

Тобто модуль Фреше над алгеброю $A$ є повним метризовуваним локально опуклим простором разом із неперервним зовнішнім множенням на елементи алгебри $A$. Наприклад, модуль Фреше над $A$ є локально опуклим простором, який реалізується як проективний тензорний добуток $A\otimes E$ для декотрого метризованого простору $E.$ Такі модулі називаються вільними.

Визначення

Локально опуклий простір - векторний простір, наділений локально опуклою топологією (не обов'язково хаусфордовий). Поповнення такого простору $E$ є поповненням асоційованого з ним локально опуклого хаусфордового простору $E_{sep}=E/{\bar {\{0\}}}$ й позначається ${\tilde {E}}.$

Проективний тензорний добуок локально опуклих просторів $E$ та $F$ позначається $E\otimes _{p}F.$

Нехай $E$ та $F$ є хаусфордовими, тоді бази окілів нуля у просторах $E\otimes _{p}F$ та $E{\hat {\otimes }}F$ можуть побудованими наступним чином. Для пари множин $U\subset E$ та $V\subset F$ існує множина

$U\otimes V=\{x\otimes y\,\,|\,\,X\in U,\,y\in V\}\subset E\otimes F.$

Зрозуміло, якщо $U\subset E$ та $V\subset F$ є векторними просторами, то їхній тензорний добуток як множин у $E$ та $F$ не збігається з їхнім тензорним добутком як векторних просторів. Нехай також $O(U\otimes V)$ є абсолютною оболонкою виділеної множини. Тоді якщо $U$ пробігає яку-небудь базу абсолютно опуклих окілів нуля у $E$, а $V$ - яку-небудь базу абсолютно опуклих окілів нуля у $F,$ то множини типу $O(U\otimes V)$ утворюють базу окілів нуля у $E\otimes _{p}F$, а їхнє замикання ${\overline {O(U\otimes V)}}$ у просторі $E{\hat {\otimes }}F$ - базу окілів нуля у $E{\hat {\otimes }}F$.

Топологія на просторах $E\otimes _{p}F$ та $E{\hat {\otimes }}F$ визначається класом усеможливих тензорних напівнорм $p\otimes q,$ де $p$ пробігає довільний спрямований визначальний клас напівнорм на $E,$ a $q$ - на $F$.

Ядерне відображення - лінійний оператор ${\mathcal {Q}}$, який відображає один локально опуклий простір $E$ у другий $F$, ${\mathcal {Q}}:E\rightarrow F$ за умови, якщо він представляється у вигляді

$x\mapsto {\mathcal {Q}}x=\sum _{i=1}^{\infty }k_{i}x_{(x)}^{*}y_{i},$

де $\{k_{i}\}$ є сумою числової послідовності, $\{x^{*}\}$ - рівностепенево неперервна послідовність у $E^{*}$ (спряженому до $E$ просторі), $\{y_{i}\}$ - послідовність елементів повної обмеженої опуклої закругленої множини у $F;$ значення лінійного функціоналу $x^{*}$ на векторі $x$ тут позначено $x_{(x)}^{*}.$ Таким чином припускається спеціального виду апроксимація операторами скінченного рангу (тобто лінійними неперервними операторами із скінченновимірними образами) по ядерній нормі.

Простір неперервних лінійних відображень локально опуклих просторів $E$ та $F$ позначмо через ${\mathfrak {Q}}(E,F).$ Для кожного локально опуклого простору $G$ й кожного $u\in {\mathfrak {Q}}(E,F)$ існують лінійні відображення

$u_{G,*}:{\mathfrak {Q}}(E,F)\rightarrow {\mathfrak {Q}}(E,F),\quad \quad {\mathfrak {q}}\mapsto u\circ {\mathfrak {q}},$

$u_{G}^{*}:{\mathfrak {Q}}(E,F)\rightarrow {\mathfrak {Q}}(E,F),\quad \quad {\mathfrak {q}}\mapsto {\mathfrak {q}}\circ u,$

натуральні по $G$.

Нехай тепер $E$ та $F$ - локально опуклі простори. Для будь-яких підмножин $S\subset E$ та $U\subset F$

$M(S,U)=\{{\mathfrak {q}}\in {\mathfrak {Q}}(E,F):{\mathfrak {q}}(S)\subset U\}.$

Якщо ${\mathfrak {S}}$ - фіксована система обмежених підмножин простру $E$, то множини типу $M(S,U),$ де $E$ пробігає ${\mathfrak {S}},$ а $U$ - довільну передбазу окілів нуля у $F$, утворюють передбазу окілів нуля для деякої локально опуклої топології на ${\mathfrak {Q}}(E,F),$ яка є топологією рівномірної збіжності на елементах з ${\mathfrak {S}}$, що можна позначити ${\mathfrak {Q}}_{b}(E,F)$. Для нормованих просторів $E$ та $F$ топологія на такому просторі ${\mathfrak {Q}}_{b}(E,F)$ задається звичайною операторною нормою.

Нехай $E$ є векторним простором, а $p$ - напівнорма на $E$. Фактор-простір $E_{}^{0}=E/p^{-1}(0)$ є нормованим простором відносно фактор-норми напівнорми $p$. Якщо $E$ - топологічний векторний простір, а напівнорма $p$ є неперервною, то відображення $\zeta =E\rightarrow E_{p},\,x\mapsto y+p^{-1}(0),$ де $E_{p}$ є поповненням виділеного фактор-простору, є неперервним. Пара $(E_{p},\zeta )$ (або сам простір $E_{p}$) є супутнім простору $E$ банаховим простором, який відповідає напівнормі $p$.

Топологічна алгебра $A$ є наділена локально опуклою топологією, відносно якої операція добутку $A\times A\rightarrow A$ роздільно є неперервною. Якщо $A$ є повною, а добуток у $A$ неперервний, то така алгебра називається ${\hat {\otimes }}$-алгеброю. Добуток у ${\hat {\otimes }}$-алгебрі $A$ визначає неперервне лінійне відображення $A{\hat {\otimes }}A\rightarrow A,\,\,a\otimes b\mapsto ab.$

Напівнорма $||\cdot ||$ на $A$ називається субмультиплікативною, якщо вона задовільняє умові $||ab||\leq ||a||\,||b||\,\,\,\forall a,b\in A.$ Топологічна алгебра $A$ є локально $m$-опуклою, якщо її топологія може бути задана класом субмультиплікативних напівнорм. Повна така алгебра називається алгеброю Арнеса-Майкла. Поповнення $A$ відносно топології, яка породжена класом субмультиплікативних норм на $A$ називається її оболонкою Аренса-Майкла. Комутативна алгебра Фреше $A$ як частковий випадок алгебри Аренса-Майкла є зворотною границею системи супутніх банахових алгебр, кожна з яких є поповненням за фактор-переднормою результату факторизації алгебри за ядром переднорми. Нехай у такому випадку простір $E$ є локально опуклим і нехай є спрямований (відносно порядку $\prec$) клас неперервних напівнорм ${\mathcal {P}}$ на $E$, який визначає його топологію. Тоді банахові простори $E_{p}$ й відображення $\eta _{pq}$ ($p$ пробігає ${\mathcal {P}}$) утворюють зворотну систему, а відбраження $\eta _{p},\,\,p\in {\mathcal {P}},$ визначають канонічне неперервне лінійне відображення $\eta :E\rightarrow \lim _{\leftarrow }(E_{o},\eta _{pq},{\mathcal {P}}),$ де $p,q$ є неперервними напівнормами на $E$ та неперервне лінійне відображення $\eta _{pq}:E_{q}\rightarrow E_{p}$ задовільняє співвідношенню $\eta _{pq}\eta _{q}=\eta _{p}.$

Див. також

• Ядерний оператор