Формула Ейлера
ред.
Приклади
ред.
Перший приклад
ред.
Розглянемо інтеграл
∫
cos
2
x
d
x
{\displaystyle \int \cos ^{2}x\operatorname {d} x}
Стандартний підхід до цього інтегралу полягає у використанні формули половинного кута для спрощення підінтегральної функції. Однак, можна використовувати тотожність Ейлера замість цього:
∫
cos
2
x
d
x
=
∫
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
2
d
x
=
1
4
∫
(
e
2
i
x
+
2
+
e
−
2
i
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}}{2}}\right)^{2}\operatorname {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}}
На цьому етапі можливий перехід до дійсних чисел за формулою
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
=
2
cos
2
x
{\displaystyle {\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}=2\cos 2x}
1
4
∫
(
e
2
i
x
+
2
+
e
−
2
i
x
)
d
x
=
1
4
(
e
2
i
x
2
i
+
2
x
−
e
−
2
i
x
2
i
)
+
C
=
1
4
(
2
x
+
sin
2
x
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x&={\frac {1}{4}}\left({\frac {{\rm {e}}^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {{\rm {e}}^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}
Другий приклад
ред.
Розглянемо інтеграл
∫
sin
2
x
cos
4
x
d
x
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x}
Знаходження цього інтегралу за допомогою тригонометричних тотожностей досить громіздке, але використання тотожності Ейлера робить його відносно нескладним:
∫
sin
2
x
cos
4
x
d
x
=
∫
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
2
(
e
4
i
x
+
e
−
4
i
x
2
)
d
x
=
−
1
8
∫
(
e
2
i
x
−
2
+
e
−
2
i
x
)
(
e
4
i
x
+
e
−
4
i
x
)
d
x
=
−
1
8
∫
(
e
6
i
x
−
2
e
4
i
x
+
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
−
2
e
−
4
i
x
+
e
−
6
i
x
)
d
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}-{\rm {e}}^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}}{2}}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}-2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\left({\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{6ix}-2{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}-2{\rm {e}}^{-4ix}+{\rm {e}}^{-6ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}}
На цьому етапі можна одразу використати метод безпосереднього інтегрування, або спочатку замінити підінтегральну функцію на
2
cos
6
x
−
4
cos
4
x
+
2
cos
2
x
{\displaystyle 2\cos 6x-4\cos 4x+2\cos 2x}
∫
sin
2
x
cos
4
x
d
x
=
−
1
24
sin
6
x
+
1
8
sin
4
x
−
1
8
sin
2
x
+
C
{\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C}
Використання дійсної частини
ред.
Крім тотожності Ейлера може бути корисним використання дійсної частини комплексного виразу. Наприклад, розглянемо інтеграл
∫
e
x
cos
x
d
x
{\displaystyle \int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x}
Оскільки
cos
x
{\displaystyle \cos x}
e
i
x
{\displaystyle {\rm {e}}^{ix}}
∫
e
x
cos
x
d
x
=
Re
(
∫
e
x
e
i
x
d
x
)
.
{\displaystyle \int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x=\operatorname {Re} \left(\int {\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{ix}\operatorname {d} x\right).}
Інтеграл праворуч легко знайти:
∫
e
x
e
i
x
d
x
=
∫
e
(
1
+
i
)
x
d
x
=
e
(
1
+
i
)
x
1
+
i
+
C
.
{\displaystyle \int {\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{ix}\operatorname {d} x=\int {\rm {e}}^{(1+i)x}\operatorname {d} x={\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}+C.}
Отже,
∫
e
x
cos
x
d
x
=
Re
(
e
(
1
+
i
)
x
1
+
i
)
+
C
=
e
x
Re
(
e
i
x
1
+
i
)
+
C
=
e
x
Re
(
e
i
x
(
1
−
i
)
2
)
+
C
=
e
x
cos
x
+
sin
x
2
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x&=\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C={\rm {e}}^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}
Загалом, цей метод може бути використаний для обчислення будь-яких дробивих виразів, що містять тригонометричні функції. Наприклад, розглянемо інтеграл
∫
1
+
cos
2
x
cos
x
+
cos
3
x
d
x
{\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\operatorname {d} x}
Використовуючи тотожність Ейлера, отримаємо
1
2
∫
12
+
e
2
i
x
+
e
−
2
i
x
e
i
x
+
e
−
i
x
+
e
3
i
x
+
e
−
3
i
x
d
x
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {12+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}}{{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}+{\rm {e}}^{3ix}+{\rm {e}}^{-3ix}}}\operatorname {d} x}
Якщо виконати підстановку [en]
u
=
e
i
x
{\displaystyle u={\rm {e}}^{ix}}
−
i
2
∫
1
+
12
u
2
+
u
4
1
+
u
2
+
u
4
+
u
6
d
u
{\displaystyle -{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+12u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\operatorname {d} u}
Будь-яка раціональна функція є інтегрованою (наприклад, використовуючи елементарні дроби ), і тому будь-який дріб, що містить тригонометричні функції, також може бути інтегрованим.
Див. також
ред.
Примітки
ред.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}}{2}}\right)^{2}\operatorname {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2c617fbd5349ff39a99861c6901164addc2d8a2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x&={\frac {1}{4}}\left({\frac {{\rm {e}}^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {{\rm {e}}^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/624d5ec415a81c94624d7b5849f3a6c91caaa4f7)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}-{\rm {e}}^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}}{2}}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}-2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\left({\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{6ix}-2{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}-2{\rm {e}}^{-4ix}+{\rm {e}}^{-6ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d2849b14f401794ccd5c2e79153234e077a5515)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x&=\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C={\rm {e}}^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3d8891491888d819bcebed72e639403486d344)
