Ікосаедричне число

Ікосаедри́чне число́ — різновид багатогранних фігурних чисел, пов'язаний з ікосаедром. Загальна формула для $n$-го за порядком ікосаедричного числа $I_{n}$:

$I_{n}={\frac {n(5n^{2}-5n+2)}{2}}$

Перші з ікосаедричних чисел (послідовність A006564 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

$1,12,48,124,255,456,742,1128,1629,2260\dots$

Рекурентна формула:

$I_{n}=I_{n-1}+{\frac {15n^{2}-25n+12}{2}};\quad I_{1}=1$

Твірна функція послідовності:

${\frac {x(1+8x+6x^{2})}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }I_{n}x^{n};\quad |x|<1$

Зв'язок з тетраедричними числами $\mathbb {T} _{n}$:

$I_{n}=\mathbb {T} _{n}+8\mathbb {T} _{n-1}+6\mathbb {T} _{n-2}$

Із загальної формули видно, що ікосаедричне число завжди складене (ділиться на $n$).

Література

• Деза Е., Деза М.. Фигурные числа. — М. : МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.