Норма ідеалу

У комутативній алгебрі, нормою ідеалу називається узагальнення норми елемента у скінченному розширенні поля. Дане поняття є дуже важливим зокрема у теорії чисел оскільки він визначає розмір ідеалів складних кілець чисел за допомогою ідеалів менш складних кілець. У випадку коли цим менш складним кільцем є кільце цілих чисел Z, норма ненульового ідеалу I числового кільця R є рівною кількості елементів скінченного факторкільця R/I.

Відносна норма

Нехай A — кільце Дедекінда з полем часток K і B — ціле замикання в скінченному сепарабельному розширенні L поля K (у цьому випадку B також є кільцем Дедекінда). Нехай ${\mathcal {I}}_{A}$ і ${\mathcal {I}}_{B}$ — групи ненульових дробових ідеалів кілець A і B, відповідно. Тоді відображенням норми за означенням є єдиний гомоморфізм груп

$N_{B/A}\colon {\mathcal {I}}_{B}\to {\mathcal {I}}_{A}$,

що задовольняє

$N_{B/A}({\mathfrak {q}})={\mathfrak {p}}^{[B/{\mathfrak {q}}:A/{\mathfrak {p}}]}$

для всіх ненульових простих ідеалів ${\mathfrak {q}}$ у B, де ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}\cap A$. Оскільки A і B є кільцями Дедекінда то всі їх прості ідеали є максимальними і тому $B/{\mathfrak {q}}$ і $A/{\mathfrak {p}}$ є полями і перше є скінченним розширенням другого.

Еквівалентно, для будь-якого ${\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{B}$ норма $N_{B/A}({\mathfrak {b}})$ є дробовим ідеалом у A породженим множиною $\{N_{L/K}(x)|x\in {\mathfrak {b}}\}$ норм елементів із ${\mathfrak {b}}$.

Для ${\mathfrak {a}}\in {\mathcal {I}}_{A}$ з означень випливає, що $N_{B/A}({\mathfrak {a}}B)={\mathfrak {a}}^{n}$, де $n=[L:K]$. Норма головного ідеалу є рівною нормі відповідного елемента: $N_{B/A}(xB)=N_{L/K}(x)A.$

Нехай $L/K$ — розширення Галуа числового поля з кільцем цілих чисел ${\mathcal {O}}_{K}\subset {\mathcal {O}}_{L}$. Тоді з попереднього для $A={\mathcal {O}}_{K},B={\mathcal {O}}_{L}$, і для будь-якого ${\mathfrak {b}}\in {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}$ отримуємо

$N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}({\mathfrak {b}})={\mathcal {O}}_{K}\cap \prod _{\sigma \in \operatorname {Gal} (L/K)}\sigma ({\mathfrak {b}}),$

що є елементом ${\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{K}}$. Позначення $N_{{\mathcal {O}}_{L}/{\mathcal {O}}_{K}}$ іноді спрощується до $N_{L/K}$.

У випадку $K=\mathbb {Q}$, доцільно обмежитися додатними раціональними числами як множиною значень для $N_{{\mathcal {O}}_{L}/\mathbb {Z} }\,$ оскільки $\mathbb {Z}$ має тривіальні групу класів ідеалів і групу оборотних елементів $\{\pm 1\}$, тож кожен ненульовий дробовий ідеал $\mathbb {Z}$ породжений єдиним додатним раціональним числом.

Абсолютна норма

Нехай $L$ — числове поле з кільцем цілих чисел ${\mathcal {O}}_{L}$ і ${\mathfrak {a}}$ — ненульовий ідеал у ${\mathcal {O}}_{L}$. Абсолютна норма ідеалу ${\mathfrak {a}}$ є рівною

$N({\mathfrak {a}}):=\left[{\mathcal {O}}_{L}:{\mathfrak {a}}\right]=\left|{\mathcal {O}}_{L}/{\mathfrak {a}}\right|.\,$

Норма нульового ідеалу вважається рівною нулю.

Якщо ${\mathfrak {a}}=(a)$ є головним ідеалом, то $N({\mathfrak {a}})=\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|$.

Норма є цілком мультиплікативною: якщо ${\mathfrak {a}}$ і ${\mathfrak {b}}$ є ідеалами у ${\mathcal {O}}_{L}$, то $N({\mathfrak {a}}\cdot {\mathfrak {b}})=N({\mathfrak {a}})N({\mathfrak {b}})$. Тому абсолютна норма у єдиний спосіб продовжується до гомоморфізму

$N\colon {\mathcal {I}}_{{\mathcal {O}}_{L}}\to \mathbb {Q} _{>0}^{\times },$

заданого для всіх ненульових дробових ідеалів кільця ${\mathcal {O}}_{L}$.

Норма ідеалу ${\mathfrak {a}}$ задає верхню межу для норми деякого ненульового елемента ідеалу: завжди існує ненульовий $a\in {\mathfrak {a}}$ для якого

$\left|N_{L/\mathbb {Q} }(a)\right|\leq \left({\frac {2}{\pi }}\right)^{s}{\sqrt {\left|D_{L}\right|}}N({\mathfrak {a}}),$

де $D_{L}$ - дискримінант числового поля $L$ і $s$ є кількістю пар вкладень L у $\mathbb {C}$, що не є дійсними.

Див. також

• Дискримінант (теорія полів)
• Норма (теорія полів)
• Диферентний ідеал
• Норма (теорія груп)

Література

• Janusz, Gerald J. (1996), Algebraic number fields, Graduate Studies in Mathematics, т. 7 (вид. second), Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0429-4, MR 1362545
• Marcus, Daniel A. (1977), Number fields, Universitext, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90279-1, MR 0457396
• Neukirch, Jurgen (1999), Algebraic number theory, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65399-6, MR 1697859
• Serre, Jean-Pierre (1979), Local Fields, Graduate Texts in Mathematics, т. 67, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-90424-7, MR 0554237