Розширення Галуа

Розширення Галуа — алгебричне розширення $E/K$, що є нормальним і сепарабельним, тобто алгебричне розширення, для якого нерухоме поле групи автоморфізмів $\operatorname {Aut} (E/K)$ збігається з $K$.

Важливість розширень Галуа полягає в тому, що для них існує група Галуа, й тому виконується основна теорема теорії Галуа.

Пов'язані визначення

Група автоморфізмів факторгрупи $E/K$ — це підгрупа групи $\operatorname {Aut} E$, яка складається з тих автоморфізмів групи $E$, що переводять елементи підмножини $K$ в себе. Позначається $\operatorname {Aut} (E/K)$.

Для розширення Галуа, група автоморфізмів називається групою Галуа та позначається $\operatorname {Gal} (E/K)$ чи $\operatorname {G} (E/K)$.

Якщо група $\operatorname {Gal} (E/K)$ є абелевою, циклічною тощо, то розширення Галуа називається відповідно абелевим, циклічним тощо.

Властивості

• За цих умов $E$ матиме найбільшу кількість автоморфізмів над $K$, якщо $E$ — скінченне розширення:

$|\!\operatorname {Aut} (E/K)|=[E:K]$ кількість автоморфізмів дорівнює степеню розширення.

• $E$ — поле розкладу многочлена з коефіцієнтами з $K$.

Іноді розглядають групу Галуа для розширення $E$, яке є сепарабельним, але необов'язково нормальним. В цьому випадку під групою Галуа $E/K$ розуміють групу $\operatorname {Gal} (M/K)$, де $M$ — нормальне замикання $K$, що містить $E$ (у скінченному випадку, коли сепарабельне розширення є простим $E=K(\alpha )$ для деякого α, що є коренем незвідного многочлена $f(x)$ над $K$. $M$ є полем розкладу цього многочлена).

Див. також

• Абелеве розширення
• Нормальне розширення
• Сепарабельне розширення
• Теорія Галуа

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — ISBN 5-8114-0552-9.(рос.)
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — Москва : ИЛ, 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)