Гомоморфізм груп

Гомоморфі́зм груп — відображення $\phi$ групи $(G,*)$ в групу $(H,\cdot )$, що зберігає групову операцію, тобто:

$\phi \colon G\rightarrow H:\quad \phi (x*y)=\phi (x)\cdot \phi (y)\quad \forall {\mathit {x,y}}\in G$.

Гомоморфізм зберігає всі відношення, основані на заданій операції, тобто, одиниця групи $(G,*)$ переходить в одиницю групи $(H,\cdot )$; обернені елементи переходять в обернені.

Тоді:

Ядро гомоморфізму — підмножина всіх елементів $(G,*)$, що відображаються в одиницю групи $(H,\cdot )$:

$ker\,\phi =\{x\in G\colon \phi (x)=e_{H}\}$.

Образ гомоморфізму — підмножина всіх елементів $H$, що є образами елементів $G$:

$im\,\phi =\phi (G)$.

Властивості

На відміну від ізоморфізму груп, гомоморфізм не обов'язково має бути взаємно-однозначним відображеням.

Приклад гомоморфізму: зіставлення невиродженої матриці та її детермінанту:

$\phi (A)=\operatorname {det} (A),\quad A\in \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$,

що є відображенням групи $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ невироджених лінійних перетворень простору $\mathbb {R} ^{n}$ на мультиплікативну групу дійсних чисел $\mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}$.

Як добре відомо, $\operatorname {det} (AB)=\operatorname {det} (A)\operatorname {det} (B)$.

Див. також

• Гомоморфізм
• Ізоморфізм груп
• Теорема про гомоморфізми
• Теореми про ізоморфізми

Література

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)
• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)