Група класів ідеалів

Група класів ідеалів — абелева група, що виникає в комутативній алгебрі і алгебраїчній теорії чисел. Вона певною мірою визначає наскільки деяке кільце Дедекінда (чи, більш загально, кільце Круля) близьке до того щоб бути факторіальним. Для факторіальних кілець і тільки для них дана група є тривіальною.

Визначення

Нехай $A$ — кільце Дедекінда і $K$ — його поле часток. Група класів ідеалів $C_{A}$ кільця $A$ визначається як факторгрупа

$C_{A}=J_{A}/P_{A}.\,$

У визначенні використані позначення

• $J_{A}$ — група дробових ідеалів, з операцією множення

$IJ=\left\{\left.\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|a_{i}\in I,b_{i}\in J\right\},$

Група $J_{A}$ є вільною абелевою групою, базисом якої є прості ідеали кільця $A$.

• $P_{A}$ — підгрупа головних дробових ідеалів, тобто дробових ідеалів виду

$(a)=A\cdot a\subset K$

для $a\in K$.

Також групу класів можна визначити за допомогою відношення еквівалентності: ідеали $\ I$ та $\ J$ дедекіндового кільця є еквівалентними, якщо, для деяких $\alpha ,\beta \in A$ виконується $\ \alpha I=\beta J$.

Приклади

• Кільця $\mathbb {Z} ,$ $\mathbb {Z} [\omega ]$, $\mathbb {Z} [i]$, де ω — кубічний корінь з 1, i — квадратний корінь з −1, є факторіальним і тому їх групи класів ідеалів є тривіальними.
• Для кільця $A=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]$ група класів ідеалів має два елементи.

Властивості

• Група класів ідеалів є тривіальною тоді і тільки тоді, коли кільце $A$ — факторіальне.
• Якщо $K$ — алгебраїчне числове поле, $A$ — його кільце цілих чисел, то відповідна група класів ідеалів є скінченною.
• Довільна абелева група є групою класів ідеалів деякого кільця Дедекінда.

Посилання

• Ю.Дрозд. Алгебричні числа. Конспект лекцій [Архівовано 17 січня 2015 у Wayback Machine.]