Числа Сабіта

Числа Сабіта — натуральні числа, які задаються формулою $3\cdot 2^{n}-1$ для цілих невід'ємних $n.$

Перші числа Сабіта — це

$2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;95\;,\;191\;,\;383\;,\;767\;,\;1535\;,\;3071\;,\;6143\;,\;12287\;,\;24575\;,\;49151\;,\;98303\;,\;196607\;,\;393215\;,\;786431\;,\;1572863\;,\;\ldots$

(послідовність A055010 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

Послідовність названа на честь іракського математика дев'ятого століття Сабіта ібн Курра, що досліджував такі числа.

Властивості

• Двійкове подання числа Сабіта $3\cdot 2^{n}-1$ має довжину $n+2.$
• Деякі числа Сабіта є простими:

$2\;,\;5\;,\;11\;,\;23\;,\;47\;,\;191\;,\;383\;,\;6143\;,\;786431\;,\;51539607551\;,\;824633720831\;,\;\ldots$

(послідовність A007505 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

• Станом на квітень 2008 року відомі такі значення $n,$ котрі дають прості числа:

$0\;,\;1\;,\;2\;,\;3\;,\;4\;,\;6\;,\;7\;,\;11\;,\;18\;,\;34\;,\;38\;,\;43\;,\;47\;,\;55\;,\;64\;,\;76\;,$

$94\;,\;103\;,\;143\;,\;206\;,\;216\;,\;306\;,\;324\;,\;391\;,\;458\;,\;470\;,\;827\;,\;1274\;,\;3276\;,\;4204\;,\;5134\;,$

$7559\;,\;12676\;,\;14898\;,\;18123\;,\;18819\;,\;25690\;,\;26459\;,\;41628\;,\;51387\;,\;71783\;,\;80330\;,\;85687\;,\;88171\;,\;97063\;,$

$123630\;,155930\;,\;164987\;,\;234760\;,\;414840\;,\;584995\;,\;702038\;,\;727699\;,\;992700\;,\;1201046\;,\;1232255\;,\;2312734\;,\;3136255\;,\;\ldots$

(послідовність A002235 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

• Прості числа Сабіта для $n>164987$ було знайдено в ході розподілених обчислень «321 search». Найбільше з відомих простих чисел Сабіта ($3\cdot 2^{4235414}-1$) має довжину 1274988 знаків і було знайдене Діланом Бенетом (Dylan Bennett) у квітні 2008 року. Поперднім рекордом було число $3\cdot 2^{3136255}-1$, знайдене Полом Андервудом (Paul Underwood) у березні 2007 року.

Зв'язок з дружніми числами

Якщо і $n,$ і $n-1$ є числами Сабіта, і якщо  $9\cdot 2^{2n-1}-1$ — просте, то пара дружніх чисел може бути знайдена як

$2^{n}(3\cdot 2^{n-1}-1)(3\cdot 2^{n}-1)$$2^{n}(9\cdot 2^{2n-1}-1).$

Числа Сабіта другого роду

• Числа, які можна записати формулою $3\cdot 2^{n}+1$ називаються числами Сабіта другого роду.

• Перші числа Сабіта другого роду:

  $4,7,13,25,49,97,193,385,769,1537,3073,6145,12289,24577,49153,98305,196609,393217,786433,1572865,...$

• Перші прості числа Сабіта другого роду (послідовність A039687 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS):

  $7,13,97,193,769,12289,786433,3221225473,206158430209,6597069766657,221360928884514619393,...$

• Перші значення $n$, за яких $3\cdot 2^{n}+1$ прості:

  (послідовність A2253 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).$1,2,5,6,8,12,18,30,36,41,66,189,201,209,276,353,408,438,534,2208,2816,3168,3189,3912,...$

Посилання

• Weisstein, Eric W. Протокол Діффі-Геллмана(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.