Частково еквівалентне відношення

Частково еквівалентне відношення (ЧЕВ) на множині є відношення симетричне і транзитивне. Іншими словами, для всіх :

  1. Якщо , тоді (симетрія)
  2. Якщо і , тоді (транзитивність)

Якщо також є рефлексивним, тоді є відношенням еквівалентності.

У контексті теорії множин, є проста структура до загального ЧЕВ на : це відношення еквівалентності на підмножині , де є такою підмножиною , що у доповнені () жоден елемент не пов'язан відношенням з будь-яким іншим. Згідно з конструкцією, рефлексивно на і тому є відношенням еквівалентності на . Зверніть увагу, що є вірним тільки для елементів : якщо , то в силу симетрії , тому і по транзитивності. І навпаки будь-яке відношення еквівалентності на автоматично стає ЧЕВ на .

ЧЕВ використовується, в основному, в галузі інформатики, теорії типів і конструктивної математики.

ПрикладиРедагувати

Простий приклад ЧЕВ, який не є відношенням еквівалентності -   (якщо  , то в цьому випадку порожнє відношення є відношення еквівалентності (і це єдине відношення на  )).

У часткових функціяхРедагувати

Інший приклад ЧЕВ: розглянемо множину   і часткову функцію  , яка визначена на деяких елементах  , але не на всіх.   тоді і тільки тоді, коли   визначена на   і   та   є частково еквівалентним відношенням, але не відношенням еквівалентності. Воно володіє властивостями симетрії і транзитивності, але воно не є рефлексивним якщо   не визначено, тоді   - фактично, для   не існує такого  , щоб виконувалось  . (З цього слідує, що підмножина  , для якої   є відношенням еквівалентності, є підмножиною, на якій визначено  .)

ПосиланняРедагувати

Див. такожРедагувати