Циклічний підклас

Циклічні підкласи — підмножини нерозкладного періодичного класу ланцюга Маркова такі, що ланцюг проходить їх один за одним по черзі.

Теорема

Нехай дано ланцюг Маркова $\{X_{n}\}_{n\geq 0}$ з дискретним часом, дискретним простором станів $S$ і матрицею перехідних ймовірностей $P$. Нехай $C\subset S$ — нерозкладний клас станів періодом $d$. тоді існує розбиття множини $C$: $C_{0},\ldots ,C_{d-1}\subset C$, тобто

$C_{k}\cap C_{l}=\emptyset ,\;k\not =l,\quad \bigcup \limits _{k=0}^{d-1}C_{k}=C$

таке, що

$\mathbb {P} (X_{n+1}\in C_{k+1\!\!\!\!\!\mod d}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N}$.

Зауваження

Таким чином усередині будь-якого нерозкладного періодичного класу ланцюг Маркова описує шлях:

$C_{k}\to C_{k+1}\to \cdots \to C_{d-1}\to C_{0}\to \cdots \to C_{k-1}\to C_{k}\to \cdots$,

де $k$ — індекс початкової підмножини.

Визначення

Побудовані таким чином підмножини $C_{k},\;k=1,\ldots ,d-1$ називаються циклічними підкласами.

Ланцюг всередині циклічного підкласу

Очевидно маємо:

$\mathbb {P} (X_{n+d}\in C_{k}\mid X_{n}\in C_{k})=1,\quad k=0,\ldots ,d-1,\;n\in \mathbb {N}$,

тобто через кожні $d$ кроків ланцюг повертається в той же циклічний підклас. Тоді для будь-якого фіксованого $k=0,\ldots ,d-1$ можна побудувати новий ланцюг Маркова $\left\{X_{n}^{(k)}\right\}_{n\geq 0}$ з множиною станів $C_{k}$ і матрицею перехідних ймовірностей $P^{d}$. Цей ланцюг буде нерозкладним і аперіодичним. Таким чином, вивчення багатьох питань поведінки ланцюга Маркова зводиться до випадку аперіодичного нерозкладного ланцюга.