Формула добутку корангів

Формула добутку корангів — математична формула, що виражає корозмірність множини точок, в яких ядро похідної відображення має задану розмірність, у вигляді добутку корангів даного відображення в прообразі і образі.

Формулювання

Корангом лінійного відображення $A:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$ в прообразі (в образі) називається число $m-r$ (відповідно, $n-r$), де $r$ — ранг відображення $A$. Коранги пов'язані з розмірністю ядра $A$ (позначимо її $i$) формулами: $m-r=i$ і $n-r=n-m+i$.

Нехай $f:M^{m}\to N^{n}$ — гладке відображення гладких многовидів $M^{m}$ і $N^{n}$ розмірностей $m$ і $n$, відповідно. Символом $f_{*x}$ позначається його похідна в точці $x\in M^{m}$, тобто лінійне відображення дотичних просторів $f_{*x}:T_{x}M^{m}\to T_{f(x)}N^{n}$.

Точка $x\in M^{m}$ належить множині $\Sigma ^{i},$ $i\geq 0,$ якщо розмірність ядра похідної $f_{*x}$ в цій точці дорівнює $i$. Множини $\Sigma ^{0},\ldots ,\Sigma ^{m}$ явно покривають весь многовид $M^{m}$, однак, як правило, в цьому ланцюжку не всі множини є непорожніми (наприклад, якщо $n>m$ має місце нерівність $r\leq n<m$, з якої з урахуванням співвідношення $m-r=i$ випливає, що $i>0$, тобто множина $\Sigma ^{0}$ порожня).

Теорема. Для відображення $f:M^{m}\to N^{n}$ загального положення всі множини $\Sigma ^{i}$ є гладкими підмноговидами в $M^{m}$. При цьому має місце співвідношення $m-\dim \,\Sigma ^{i}=(m-r)(n-r),$ де $r=m-i$ — ранг відображення $f_{*x},$ що називають формулою добутку корангів.

Обчислене за цією формулою значення $\dim \Sigma ^{i}$ може бути від'ємним. Це означає, що відповідна множина $\Sigma ^{i}$ порожня.

Наслідок. У просторі матриць типу $(m,n)$ множина матриць рангу $r$ утворює гладкий многовид корозмірності $(m-r)(n-r)$.

Література

• Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений, — Будь-яке видання.