Тропічна геометрія

Тропічна геометрія — область в математиці, що з'явилася в 2000-ні, початково виникла в інформатиці, і пов'язана з алгебричною та симплектичною геометрією. Досліджувані в ній об'єкти є границею образів амеб звичайних алгебричних многовидів при виродженні останніх.

Тропічна пряма на площині

Назва «тропічна» віддає честь бразильській школі — піонерським роботам бразильського математика Імре Сімона, який досліджував тропічне напівкільце у зв'язку з питаннями інформатики та теорії оптимізації.

Основні поняття

• Тропічне напівкільце (або тропічне напівполе) — множина дійсних чисел $\mathbb {R}$, оснащене операціями тропічного додавання $\oplus$ і тропічного множення $\odot$

$x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.$

• Тропічний многочлен ступеня $d$ на площині — кусково-афінна функція виду

$f(x,y)=\bigoplus _{i+j\leq d}\,a_{i,j}\odot x^{\odot i}\odot y^{\odot j}=\max _{i+j\leq d}(ix+jy+a_{i,j}).$

Аналогічно, тропічний многочлен в загальному випадку — кусково-афінна функція виду

$f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{|J|\leq d}\,a_{J}\odot x^{\odot J}=\max _{|J|\leq d}\,(a_{J}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).$

• Тропічна крива на площині, що відповідає даному тропічному многочлену $f$ ступеня $d$ — граф на площині, вершини і ребра (скінченні і нескінченні) якого утворюють множину точок негладкості функції $f$. Ребра цього графу вважаються оснащеними кратностями: ребро, що розділяє області лінійності, які відповідають набору ступенів $(i,j)$ і $(i',j')$, оснащується кратністю, рівною найбільшому спільному дільнику різниць $i-i'$ і $j-j'$.
• Зокрема, тропічна пряма є об'єднанням трьох променів, що виходять з деякої точки $(x_{0},y_{0})$ і спрямовані вниз, вліво і вправо-вгору під 45 градусів. Тропічні прямі мають властивості, аналогічні властивостям звичайних прямих: через будь-які дві точки загального положення проходить рівно одна тропічна пряма, і дві тропічні прямі загального положення перетинаються в єдиній точці.

Література

• Itenberg I., Mikhalkin G., Shustin E. Tropical algebraic geometry. — Basel : Springer, 2009. — viii+104 с. — (Oberwolfach Seminars)
• М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.