Теорія акустики - це наукова область, яка стосується опису звукових хвиль . Це походить від динаміки рідини . Дивіться також акустику для інженерного підходу.
Для звукових хвиль будь-якої величини порушення швидкості, тиску та щільності ми маємо
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
∇
⋅
(
ρ
′
v
)
=
0
(Збереження масси)
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
v
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
p
′
=
0
(Рівняння руху)
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot (\rho '\mathbf {v} )&=0\qquad {\text{(Збереження масси)}}\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\qquad {\text{(Рівняння руху)}}\end{aligned}}}
У випадку, коли коливання швидкості, щільності та тиску невеликі, ми можемо наблизити їх як
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
=
0
∂
v
∂
t
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Де
v
(
x
,
t
)
{\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}
- збурена швидкість рідини,
p
0
{\displaystyle p_{0}}
- тиск рідини в спокої,
p
′
(
x
,
t
)
{\displaystyle p'(\mathbf {x} ,t)}
- збурений тиск системи як функція простору та часу,
ρ
0
{\displaystyle \rho _{0}}
- щільність рідини в спокої, і
ρ
′
(
x
,
t
)
{\displaystyle \rho '(\mathbf {x} ,t)}
- дисперсія щільності рідини в просторі та в часі.
У випадку, коли швидкість є ірротаційною (
∇
×
v
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}
), ми маємо рівняння акустичної хвилі, яке описує систему:
1
c
2
∂
2
ϕ
∂
t
2
−
∇
2
ϕ
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}
Де ми маємо
v
=
−
∇
ϕ
c
2
=
(
∂
p
∂
ρ
)
s
p
′
=
ρ
0
∂
ϕ
∂
t
ρ
′
=
ρ
0
c
2
∂
ϕ
∂
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}
Починаючи з рівняння безперервності та рівняння Ейлера:
∂
ρ
∂
t
+
∇
⋅
ρ
v
=
0
ρ
∂
v
∂
t
+
ρ
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
p
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}}
Якщо взяти невеликі збурення постійного тиску та щільності:
ρ
=
ρ
0
+
ρ
′
p
=
p
0
+
p
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}}
Тоді рівняння системи такі
∂
∂
t
(
ρ
0
+
ρ
′
)
+
∇
⋅
(
ρ
0
+
ρ
′
)
v
=
0
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
v
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
(
p
0
+
p
′
)
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}}
Зауважуючи, що рівноважний тиск і щільність постійні, це спрощує до
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
∇
⋅
ρ
′
v
=
0
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
v
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Починаючи з
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
w
+
∇
⋅
ρ
′
w
=
0
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
w
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
w
⋅
∇
)
w
+
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Ми можемо змусити ці рівняння працювати для рухомого середовища, встановивши
w
=
u
+
v
{\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }
, де
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
- постійна швидкість, з якою рухається вся рідина до того, як її збурить (еквівалентно рухомому спостерігачу) і
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
- швидкість рідини.
У цьому випадку рівняння виглядають дуже схожими:
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
u
⋅
∇
ρ
′
+
∇
⋅
ρ
′
v
=
0
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
v
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
u
⋅
∇
)
v
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Зверніть увагу, що при
u
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} =0}
у нас буде рівняння в спокої.
Починаючи з наведених вище рівнянь руху середовища, що перебуває в спокої:
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
∇
⋅
ρ
′
v
=
0
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
v
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Давайте зараз візьмемо
v
,
ρ
′
,
p
′
{\displaystyle \mathbf {v} ,\rho ',p'}
щоб усі мали невеликі кількості.
У тому випадку, якщо ми зберігаємо доданки до першого порядку, для рівняння неперервності маємо
ρ
′
v
{\displaystyle \rho '\mathbf {v} }
термін дорівнює 0. Це аналогічно стосується збурення щільності, помноженого на похідну від часу швидкості. Більше того, просторові компоненти похідного матеріалу дорівнюють 0. Таким чином, ми, переставляючи рівноважну щільність:
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
=
0
∂
v
∂
t
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Далі, враховуючи, що наша звукова хвиля виникає в ідеальній рідині, рух є адіабатичним, і тоді ми можемо пов’язати малу зміну тиску з малою зміною щільності
p
′
=
(
∂
p
∂
ρ
0
)
s
ρ
′
{\displaystyle p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '}
За цієї умови ми бачимо, що зараз маємо
∂
p
′
∂
t
+
ρ
0
(
∂
p
∂
ρ
0
)
s
∇
⋅
v
=
0
∂
v
∂
t
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Визначення швидкості звуку системи:
c
≡
(
∂
p
∂
ρ
0
)
s
{\displaystyle c\equiv {\sqrt {({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}}}}
Все стає
∂
p
′
∂
t
+
ρ
0
c
2
∇
⋅
v
=
0
∂
v
∂
t
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Для ірротаційних рідин
ред.
У тому випадку, якщо рідина є ірротаційною, тобто
∇
×
v
=
0
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}
, тоді ми можемо писати
v
=
−
∇
ϕ
{\displaystyle \mathbf {v} =-\nabla \phi }
і таким чином запишемо наші рівняння руху як
∂
p
′
∂
t
−
ρ
0
c
2
∇
2
ϕ
=
0
−
∇
∂
ϕ
∂
t
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Друге рівняння показує
p
′
=
ρ
0
∂
ϕ
∂
t
{\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}
І використання цього рівняння у рівнянні безперервності, говорить нам про таке
ρ
0
∂
2
ϕ
∂
t
−
ρ
0
c
2
∇
2
ϕ
=
0
{\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi =0}
Це спрощує до
1
c
2
∂
2
ϕ
∂
t
2
−
∇
2
ϕ
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}
Таким чином, потенціал швидкості
ϕ
{\displaystyle \phi }
підкоряється хвильовому рівнянню в межі малих збурень. Граничні умови, необхідні для вирішення потенціалу, походять від того, що швидкість рідини повинна бути 0 нормальною до нерухомих поверхонь системи.
Беручи похідну від часу цього хвильового рівняння і помножуючи всі сторони на не збурену щільність, а потім використовуючи той факт, що
p
′
=
ρ
0
∂
ϕ
∂
t
{\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}
говорить нам те
1
c
2
∂
2
p
′
∂
t
2
−
∇
2
p
′
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0}
Так само ми це бачили
p
′
=
(
∂
p
∂
ρ
0
)
s
ρ
′
=
c
2
ρ
′
{\displaystyle p'=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '}
. Таким чином, ми можемо помножити вищевказане рівняння і побачити, що
1
c
2
∂
2
ρ
′
∂
t
2
−
∇
2
ρ
′
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0}
Таким чином, потенціал швидкості, тиск і щільність підкоряються хвильовому рівнянню. Більше того, нам потрібно вирішити лише одне таке рівняння, щоб визначити всі інші три. Зокрема, ми маємо
v
=
−
∇
ϕ
p
′
=
ρ
0
∂
ϕ
∂
t
ρ
′
=
ρ
0
c
2
∂
ϕ
∂
t
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}
Для рухомого середовища
ред.
Знову ж таки, ми можемо вивести межу малого збурення для звукових хвиль в рухомому середовищі. І знову, починаючи з
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
u
⋅
∇
ρ
′
+
∇
⋅
ρ
′
v
=
0
(
ρ
0
+
ρ
′
)
∂
v
∂
t
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
u
⋅
∇
)
v
+
(
ρ
0
+
ρ
′
)
(
v
⋅
∇
)
v
+
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Ми можемо лінеаризувати їх у
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
u
⋅
∇
ρ
′
=
0
∂
v
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
v
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Для ірротаційних рідин у рухомому середовищі
ред.
Враховуючи, що ми це бачили
∂
ρ
′
∂
t
+
ρ
0
∇
⋅
v
+
u
⋅
∇
ρ
′
=
0
∂
v
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
v
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Якщо ми зробимо попередні припущення про те, що рідина ідеальна, а швидкість ірраторна, ми маємо
p
′
=
(
∂
p
∂
ρ
0
)
s
ρ
′
=
c
2
ρ
′
v
=
−
∇
ϕ
{\displaystyle {\begin{aligned}p'&=({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}})_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}}
За цих припущень, наші лінеаризовані рівняння звуку стають
1
c
2
∂
p
′
∂
t
−
ρ
0
∇
2
ϕ
+
1
c
2
u
⋅
∇
p
′
=
0
−
∂
∂
t
(
∇
ϕ
)
−
(
u
⋅
∇
)
[
∇
ϕ
]
+
1
ρ
0
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}
Що важливо, оскільки
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
є константою, ми маємо
(
u
⋅
∇
)
[
∇
ϕ
]
=
∇
[
(
u
⋅
∇
)
ϕ
]
{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}
, а друге рівняння говорить нам про те, що
1
ρ
0
∇
p
′
=
∇
[
∂
ϕ
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
ϕ
]
{\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla [{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}
Або просто так
p
′
=
ρ
0
[
∂
ϕ
∂
t
+
(
u
⋅
∇
)
ϕ
]
{\displaystyle p'=\rho _{0}[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}
Тепер, коли ми використовуємо це відношення з тим, що
1
c
2
∂
p
′
∂
t
−
ρ
0
∇
2
ϕ
+
1
c
2
u
⋅
∇
p
′
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0}
, ми периходимо до
1
c
2
∂
2
ϕ
∂
t
2
−
∇
2
ϕ
+
1
c
2
∂
∂
t
[
(
u
⋅
∇
)
ϕ
]
+
1
c
2
∂
∂
t
(
u
⋅
∇
ϕ
)
+
1
c
2
u
⋅
∇
[
(
u
⋅
∇
)
ϕ
]
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0}
Ми можемо написати це у звичній формі як
[
1
c
2
(
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
)
2
−
∇
2
]
ϕ
=
0
{\displaystyle [{\frac {1}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )^{2}-\nabla ^{2}]\phi =0}
Це диференціальне рівняння має вирішуватися з відповідними граничними умовами. Зверніть увагу, при
u
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} =0}
ми маємо хвильове рівняння. Незважаючи на це, після вирішення цього рівняння для рухомого середовища ми маємо
v
=
−
∇
ϕ
p
′
=
ρ
0
(
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
)
ϕ
ρ
′
=
ρ
0
c
2
(
∂
∂
t
+
u
⋅
∇
)
ϕ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \end{aligned}}}