Теорема про три перпендикуляри

Теоре́ма про три перпендикуля́ри — фундаментальна теорема стереометрії.

Формулювання

Пряма, проведена в площині через основу похилої, перпендикулярна до її проєкції на цю площину, перпендикулярна й до самої похилої.

Доведення

Нехай $AB$ — перпендикуляр до площини $\alpha$, $AC$ — похила і $c$ — пряма в площині $\alpha$, що проходить через точку $C$ і перпендикулярна проєкції $BC$. Проведемо пряму $CK$ паралельно до прямої $AB$. Пряма $CK$ перпендикулярна до площини $\alpha$ (оскільки вона паралельна до $AB$), а значить, і до будь-якої прямої в цій площині, отже, $CK$ перпендикулярна до прямої $c$. Проведемо через паралельні прямі $AB$ і $CK$ площину $\beta$ (паралельні прямі визначають площину, причому тільки одну). Пряма $c$ перпендикулярна до двох прямих у площині $\beta$, що перетинаються, це $BC$ за умовою і $CK$ за побудовою, отже, вона перпендикулярна і до будь-якої прямої, що належить цій площині, отже, перпендикулярна й до прямої $AC$.

Теорема, обернена до теореми про три перпендикуляри

Якщо пряма, проведена на площині через основу похилої, перпендикулярна до самої похилої, то вона перпендикулярна і до її проєкції.

Доведення

Нехай АВ — перпендикуляр до площини α, АС — похила і c — пряма в площині α, що проходить через основу похилої C. Проведемо пряму СК, паралельно до прямої АВ. Пряма СК перпендикулярна до площини α (за цією теоремою, оскільки вона паралельна до АВ), а отже й до будь-якої прямої в цій площині, отже, СК перпендикулярна до прямої c. Проведемо через паралельні прямі АВ і СК площину β (паралельні прямі визначають площину, причому тільки одну). Пряма c перпендикулярна до двох прямих, що лежать у площині β, це АС за умовою і СК, отже, вона перпендикулярна і до будь-якої прямої, що належить цій площині, отже, перпендикулярна й до прямої ВС. Іншими словами, проєкція ВС перпендикулярна до прямої c, що лежить у площині α.

Приклад застосування

Задача. Доведіть, що через будь-яку точку прямої в просторі можна провести перпендикулярну до неї пряму.

Розв'язування

Нехай а — пряма і А — точка на ній. Візьмемо будь-яку точку Х поза прямою а і проведемо через цю точку і пряму а площину α. У площині α через точку А можна провести пряму b, перпендикулярну до а.

Посилання

• Опорні задачі (рос.)