Теорема де Брейна — Ердеша

теорема в геометрії інцидентності

Теорема де Брейна — Ердеша — один з важливих результатів у геометрії інцидентності, встановлює точну нижню оцінку на число прямих, визначених точками на проєктивній площині. За двоїстістю з цієї теореми випливає обмеження на кількість перетинів конфігурації прямих.

Пучок на семи точках

ІсторіяРедагувати

Встановили Ніколас де Брейном і Пал Ердеш 1948 році.

ФормулюванняРедагувати

Нехай дано набір   з   точок на проєктивній площині, з яких не всі лежать на одній прямій. Нехай   це число всіх прямих, що проходять через пари точок з  : Тоді  . Більш того, якщо  , то будь-які дві прямі перетинаються в точці з  .

ДоведенняРедагувати

Стандартне доведення ведеться за індукцією. Теорема очевидно виконується для трьох точок, які не лежать на одній прямій. Нехай  , твердження істинне для   і   — множина з   точок, не всі з яких лежать на одній прямій. За теоремою Сильвестра одна з цих прямих проходить рівно через дві точки з  . Позначимо ці дві точки   і  .

Якщо при видаленні точки   решта точок будуть на одній прямій, то   утворює пучок з   прямих (  простих прямих проходять через  , плюс одна пряма, що проходить через інші точки). В іншому випадку видалення   утворює множину   з   неколінеарних точок. За припущенням індукції через   проходять   прямих, що щонайменше на одиницю менше від числа прямих, що проходять через точки множини  .

ЛітератураРедагувати