Теорема Сохоцького — Веєрштрасса

Теорема Сохоцького — Веєрштрасса (також теорема Казораті, теорема Казораті — Веєрштрасса) — теорема в комплексному аналізі, що описує поведінку голоморфної функції в околі істотно особливої точки. А саме відповідно до цієї теореми множина значень цієї функції в довільно малому околі істотно особливої точки є щільною множиною в множині комплексних чисел.

Вперше опублікована Казораті і Сохоцьким в 1868 році, згодом Веєрштрассом у 1876 році.

Значним посиленням теореми є велика теорема Пікара, згідно з якою множиною значень насправді є всі комплексні числа, за винятком можливо лише одного.

Твердження теоремиРедагувати

Нехай функція   — голоморфна у відкритій множині   і в точці   має істотно особливу точку. Тоді для будь-якого числа   можна знайти послідовність точок   таких що   і також   Іншими словами якщо   — довільний проколотий круг з центром в точці  , що міститься в  , то множина   є щільною в множині комплексних чисел.

ДоведенняРедагувати

Нехай спершу  . Оскільки функція   не може бути обмеженою в довільному проколотому крузі   з центром в істотно особливій точці то в цьому крузі можна знайти точку   в якій   У той же спосіб визначається існування числа   для якого   і загалом чисел   для яких  

Очевидно, що в цьому випадку   і також  

Нехай тепер  .

Якщо для кожного проколотого круга   існує така точка   для якої   то послідовність із твердження теореми можна визначити взявши   Тоді   для всіх   і  .

Якщо ж в деякому проколотому крузі  , що міститься в   функція   то можна визначити функцію:

 

Вона буде голоморфною в   і матиме істотно особливу точку в   Тому з уже доведеного можна знайти послідовність точок   таких що   і також  

Але тоді також:

 

що завершує доведення теореми.

Див. такожРедагувати

ДжерелаРедагувати