Теорема Помпею

Теорема Помпе́ю — теорема в планіметрії, відкрита румунським математиком Дімітріе Помпею.

Теорема стверджує, що:

Для довільного рівностороннього трикутника $\ ABC$ та довільної точки $\ P$ в його площині відрізки $\ PA$, $\ PB$ та $\ PC$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

Доведення

Розглянемо поворот на 60° навколо точки C. Припустимо, що A переходить у B, а P переходить у P '. Тоді маємо $\scriptstyle PC\ =\ P'C$, $\scriptstyle \angle PCP'\ =\ 60^{\circ }$. Звідси трикутник PCP ' рівносторонній, тому $\scriptstyle PP'\ =\ PC$. З рівності трикутників очевидно, що $\scriptstyle PA\ =\ P'B$. Тому трикутник PBP ' має сторони, рівні PA, PB, PC, що й завершує доведення теореми.

Додатково, якщо P знаходиться на описаному колі трикутника, то PA, PB і PC утворюють вироджений трикутник.

Також теорема є прямим наслідком нерівності Птолемея.

Посилання

• Теорема Помпею на MathWorld [Архівовано 11 листопада 2012 у Wayback Machine.] (англ.)