Теорема Люка

твердження про остачу від ділення біноміального коефіцієнта на просте число

У математиці теоремою Люка́ називають таке твердження про остачу від ділення біноміального коефіцієнта на просте число p:

де і  — подання чисел m і n у p-ковій системі числення.

Зокрема, біноміальний коефіцієнт ділиться на просте число p націло тоді й лише тоді, коли хоча б одна p-кова цифра числа n перевищує відповідну цифру числа m.

Теорему вперше вивів 1878 року французький математик Едуард Люка.

ДоведенняРедагувати

Розглянемо коефіцієнт при   у многочлені   над скінченним полем  . З одного боку, він просто дорівнює  . З іншого боку, оскільки

 

то, щоб з останнього добутку отримати коефіцієнт при  , потрібно з нульового співмножника взяти коефіцієнт при  , з першого — коефіцієнт при  , a в загальному випадку з  -го співмножника — коефіцієнт при  . Прирівнюючи коефіцієнти, отримуємо

 

ЛітератураРедагувати