Теорема Левицького у теорії кілець описує властивості ніль-ідеалів нетерових кілець.

Теорему вперше довів Яків Левицький,[1][2] згодом нове доведення (яке подано нижче) знайшов Юдзо Утумі[3].

Теорема стверджує, що у нетеровому справа кільці R односторонній ніль-ідеал A є нільпотентним ідеалом.

Доведення

ред.

Оскільки кільце R є нетеровим справа, то R містить максимальний (двосторонній) нільпотентний ідеал N. Достатньо довести, що   Припустимо, що це не так. Розглядаючи фактор-кільце R/N отримаємо тоді нетерове справа кільце, що не має ненульових (двосторонніх) нільпотентних ідеалів але містить односторонній ненульовий ніль-ідеал. Для доведення теореми достатньо показати, що це неможливо. Без втрати загальності можна вважати, що кільце R і ніль-ідеал A задовольняють вказані умови.

Якщо   то U = Ra є ненульовим лівим ніль-ідеалоом в R. Цей ідеал є ненульовим оскільки в іншому випадку двосторонній ідеал I породжений a (тобто, у цьому випадку, ідеал I = aR + Za) буде ненульовим (містить a) нільпотентним ідеалом (I2 = 0). Якщо A — лівий ідеал, то   і з того, що A є лівим ніль-ідеалом, випливає ця ж властивість і для U. Якщо A — правий ідеал, то для будь-якого елемента   маємо   Оскільки   то для досить великого n звідси випливає, що  

Для будь-якого   позначимо   Тоді r(u) є ненульовим правим ідеалом в R. З того, що R є нетеровим справа випливає існування елемента   для якого правий ідеал   буде максимальним серед ідеалів такого виду. Для будь-якого   виконується включення   Отже, якщо   то, з огляду на те, що   із максимальності   випливає рівність  

Нехай   Тоді існує таке k > 1, що   Оскільки елемент   можна записати у виді  , то   Але   належить   отже,   тобто   Остання рівність виконується також і у випадку   тобто загалом для всіх   Звідси випливає, що   є нільпотентним ідеалом кільця R. Оскільки R — кільце без ненульових нільпотентних ідеалів, то звідси зокрема   Але тоді множина   є ненульовим нільпотентним ідеалом (що містить  ). Ці протиріччя завершують доведення теореми.

Примітки

ред.
  1. Levitzki, J. (1950), On multiplicative systems, Compositio Mathematica, 8: 76—80, MR 0033799, архів оригіналу за 3 березня 2016, процитовано 14 червня 2019.
  2. Levitzki, Jakob (1945), Solution of a problem of G. Koethe, American Journal of Mathematics, The Johns Hopkins University Press, 67 (3): 437—442, doi:10.2307/2371958, ISSN 0002-9327, JSTOR 2371958, MR 0012269,
  3. Utumi, Yuzo (1963), Mathematical Notes: A Theorem of Levitzki, The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 70 (3): 286, doi:10.2307/2313127, ISSN 0002-9890, JSTOR 2313127, MR 1532056

Див. також

ред.

Література

ред.
  • Herstein, I.N. (1968), Noncommutative rings (вид. 1st), The Mathematical Association of America, ISBN 0-88385-015-X