Формула Валліса

Формула Валліса, виведена 1655 року Джоном Валлісом, стверджує:

$\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}.$

Винайдення

Валліс вивів нескінченний добуток методом порівняння визначених інтегралів $\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx$ для парних і непарних n, як показано нижче. Оскільки на той час математичний аналіз, зокрема теорія збіжності, не мав достатнього розвитку і не було відомо про його зв'язок із площами фігур, дослідження вважалося складним і незавершеним. Як згодом виявилось, формула Валліса є простим наслідком формули Ейлера для синуса.

Доведення через розклад синуса в нескінченний добуток

${\frac {\sin x}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)$

Нехай x = π/2:

$\Rightarrow {\frac {2}{\pi }}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{4n^{2}}}\right)$

${\begin{aligned}\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}&{}=\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)\\&{}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots \end{aligned}}$

Доведення через інтегрування

Нехай:

$I(n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx$

$u=\sin ^{n-1}x\Rightarrow du=(n-1)\sin ^{n-2}x\cos x\,dx$

$dv=\sin x\,dx\Rightarrow v=-\cos x$

$\Rightarrow I(n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{n}x\,dx=\int \limits _{0}^{\pi }u\,dv$

$=uv|_{x=0}^{x=\pi }-\int \limits _{0}^{\pi }v\,du$

$=0-(n-1)\int \limits _{0}^{\pi }-\cos ^{2}x\sin ^{n-2}x\,dx,\quad n>1$

$=(n-1)\int \limits _{0}^{\pi }(1-\sin ^{2}x)\sin ^{n-2}x\,dx$

$=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)$

$I(n)=(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n)$

$\Rightarrow I(n)={\frac {n-1}{n}}I(n-2)$

$I(1)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin x\,dx=-\cos x|_{0}^{\pi }=(-\cos \pi )-(-\cos 0)=-(-1)-(-1)=2$

$I(0)=\int \limits _{0}^{\pi }\,dx=x|_{0}^{\pi }=\pi$

$I(2n+1)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2n+1}x\,dx={\frac {2n}{2n+1}}I(2n-1)={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}I(2n-3)$

Повторюючи,

$={\frac {2n}{2n+1}}\cdot {\frac {2n-2}{2n-1}}\cdot {\frac {2n-4}{2n-3}}\cdot \cdots \cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {2}{3}}I(1)=2\prod _{k=1}^{n}{\frac {2k}{2k+1}}$

$I(2n)=\int \limits _{0}^{\pi }\sin ^{2n}x\,dx={\frac {2n-1}{2n}}I(2n-2)={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}I(2n-4)$

Повторюючи,

$={\frac {2n-1}{2n}}\cdot {\frac {2n-3}{2n-2}}\cdot {\frac {2n-5}{2n-4}}\cdot \cdots \cdot {\frac {5}{6}}\cdot {\frac {3}{4}}\cdot {\frac {1}{2}}I(0)=\pi \prod _{k=1}^{n}{\frac {2k-1}{2k}}$

$\sin ^{2n+1}x\leqslant \sin ^{2n}x\leqslant \sin ^{2n-1}x,\quad 0\leqslant x\leqslant \pi$

$\Rightarrow I(2n+1)\leqslant I(2n)\leqslant I(2n-1)$

$\Rightarrow 1\leqslant {\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}\leqslant {\frac {I(2n-1)}{I(2n+1)}}={\frac {2n+1}{2n}}$

За теоремою про три послідовності:

$\Rightarrow \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}=1$

$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {I(2n)}{I(2n+1)}}={\frac {\pi }{2}}\lim _{n\rightarrow \infty }\prod _{k=1}^{n}\left({\frac {2k-1}{2k}}\cdot {\frac {2k+1}{2k}}\right)=1$

$\Rightarrow {\frac {\pi }{2}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {2k}{2k-1}}\cdot {\frac {2k}{2k+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot \cdots$

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)