Зворотне рівняння

Алгебраїчні рівняння виду:

$a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+...+a_{n}x^{n+1}+{\lambda }a_{n}x^{n}+{\lambda }^{3}a_{n-1}x^{n-1}+...+{\lambda }^{2n-1}a_{1}x+{\lambda }^{2n+1}a_{0}=0,\qquad (1)$

$a_{0}x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+...+a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+{\lambda }a_{n-1}x^{n-1}+{\lambda }^{2}a_{n-2}x^{n-2}+...+{\lambda }^{n-1}a_{1}x+{\lambda }^{n}a_{0}=0\qquad (2)$

називаються зворотними, де $\lambda \$ — фіксоване число і $a_{0}\neq 0$. При ${\lambda }=1$ такі рівняння називають симетричними.

Розв'язання

Зворотне рівняння непарного степеня (1) завжди має корінь $x=-{\lambda }$, оскільки це рівняння завжди можна переписати у вигляді

$a_{0}(x^{2n+1}+{\lambda }^{2n+1})+a_{1}x(x^{2n-1}+{\lambda }^{2n-1})+...+a_{n-1}x^{n-1}(x^{3}+{\lambda }^{3})+a_{n}x^{n}(x+{\lambda })=0$.

Після ділення лівої частини на $x+{\lambda }$ отримаємо зворотне рівняння парного степеня.

Для розв'язку рівняння парного степеня поділимо (2) на $x^{n}$, оскільки $x=0$ не є його коренем, і згрупувавши члени отримаємо:

$a_{0}\left(x^{n}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{n}\right)+a_{1}\left(x^{n-1}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{n-1}\right)+...+a_{n-1}\left(x+{{\lambda } \over x}\right)+a_{n}=0\qquad (3)$.

Зробимо заміну $t={x+{{\lambda } \over x}}$, після чого отримаємо наступні вирази:

$x^{2}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{2}=t^{2}-2{\lambda },$

$x^{3}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{3}=\left(x+{{\lambda } \over x}\right)^{3}-3{\lambda }\left(x+{{\lambda } \over x}\right)=t^{3}-3{\lambda }t,$

$x^{4}+\left({\frac {\lambda }{x}}\right)^{4}=\left(x+{{\lambda } \over x}\right)^{4}-4{\lambda }\left(x^{2}+{{\lambda }^{2} \over x^{2}}\right)-6{\lambda }^{2}=t^{4}-4{\lambda }t^{2}+2{\lambda }^{2},$

і т. д., тоді рівняння (3) степеня $2n$ відносно $x$ запишемо у вигляді рівняння степеня $n$ відносно $t$. Тепер якщо вдасться розв'язати отримане рівняння, то знайдуться всі корені рівняння (2).

Див. також

• Біквадратне рівняння

Джерела

• The Fundamental Theorem for Palindromic Polynomials(англ.) на MathPages