Гільбертів простір: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
||
Рядок 5:
# визначити [[Метричний простір|метрику]], відносно якої гільбертів простір є [[Повний метричний простір|повним метричним простором]].
Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття [[Давид Гільберт|Давидом Гільбертом]], [[Ерхард Шмідт|Ерхардом Шмідтом]] і [[Фріджес Ріс|Фріджесом Рісом]]. Гільбертові простори є незамінними інструментами в [[Диференціальні рівняння|теорії диференціальних рівнянь]] у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). [[Джон фон Нейман]] ввів термін «Гільбертовий простір» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]]. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з [[Узагальнена функція|узагальнених функцій]], і простори Харді [[Голоморфна функція|голоморфних функцій]].
Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]] і [[Правило паралелограма|правила паралелограма]]. На глибшому рівні — перпендикулярна проекція на [[лінійний підпростір]] або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з [[Декартова система координат|декартовими координатами]] в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.
| |||