Теорія трансцендентних чисел: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Tolsai (обговорення | внесок) Функція пропозицій посилань: додано 3 посилання. |
|||
Рядок 28:
Перші конкретні приклади трансцендентних чисел навів [[Жозеф Ліувілль]] у 1840-х роках за допомогою [[Ланцюговий дріб|неперервних дробів]]. Пізніше, в 1850-х роках, він сформулював [[Необхідна і достатня умова|необхідну умову]] того, щоб число було алгебричним; відповідно якщо ця умова порушується, то число напевно трансцендентне<ref>''J. Liouville''. Sur les classes très étendues de quantités dont la valeur n'est ni algébrique ni même réductible à des irrationelles algébriques, Comptes Rendus Acad. </ref>. За допомогою такого критерію він описав широкий клас трансцендентних чисел, який отримав назву «[[Число Ліувілля|чисел Ліувілля]]». Пізніше встановлено, що числа Ліувілля утворюють на дійсній [[Числова вісь|числовій осі]] [[Щільна множина|всюди щільну множину]], що має [[Потужність множини|потужність]] [[Континуум (теорія множин)|континууму]] і, разом з тим, нульову [[Міра Лебега|міру Лебега]].
Критерій Ліувілля по суті означає, що алгебричні числа не можна добре апроксимувати (наблизити) раціональними числами (див. [[Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел]]). Таким чином, якщо число добре апроксимується раціональними числами, то воно мусить бути трансцендентним. Точний зміст поняття «''добре апроксимується''» у Ліувілля такий: якщо <math>\alpha</math> є [[Алгебраїчні числа|алгебричним числом]] степеня <math>d \geqslant 2</math> і ε — будь-яке [[додатне число]], то [[нерівність]]
: <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{d+\varepsilon}}</math>
Рядок 56:
=== Інші методи: Кантор і Зільбер ===
1874 року [[Георг Кантор]], розробляючи свою [[Теорія множин|теорію множин]], довів, що алгебричні числа можна поставити у [[Бієкція|взаємно-однозначну відповідність]] із множиною [[Натуральні числа|натуральних чисел]]. Іншими словами, [[множина]] алгебричних чисел [[Зліченна множина|зліченна]], а тоді множина трансцендентних чисел повинна бути не тільки нескінченною, але й більш ніж зліченною ([[Континуум (теорія множин)|континуально]])<ref>{{Стаття|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/no_cache/dms/load/img/?IDDOC=266194|title=Ueber eine Eigenschaft des Ingebriffes aller reelen algebraischen Zahlen|language=de|видання=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik|Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|том=77|pages=258—262|doi=10.1515/crll.1874.77.258|тип=magazin|author=Cantor, G.|date=1874}}</ref>. Пізніше, 1891 року, Кантор використав для доведення простіший і звичніший [[діагональний метод]]<ref>{{Стаття|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002113910|title=Ueber eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre|language=de|видання=Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung|том=1|pages=75—78|тип=magazin|author=Cantor, G.|date=1891|accessdate=13 січня 2021|archivedate=7 травня 2021|archiveurl=https://web.archive.org/web/20210507044718/http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002113910}}</ref>. Зустрічаються думки, що ці результати Кантора непридатні для побудови конкретних трансцендентних чисел<ref>{{Книга
|заголовок = Mathematics and Logic
|видавництво = Fredering A. Praeger
Рядок 69:
: <math>K=\mathbb{Q}(x_1,\ldots,x_n,e^{x_1},\ldots,e^{x_n})</math>
для комплексних чисел <math>x_1,\ldots,x_n,</math> які є лінійно незалежними над полем раціональних чисел. {{Нп|Стівен Шануель||en|Stephen Schanuel}} (''Stephen Schanuel'') припустив, що відповідь, принаймні, ''n'', але доведення цього поки що немає. У 2004 році, правда, [[Зільбер Борис Йосипович|Борис Зільбер]] опублікував роботу, яка використовує теоретико-модельні методи, щоб створити структуру, яка поводиться дуже схоже на комплексні числа, забезпечені операціями додавання, множення і [[піднесення до степеня]]. Крім того, в цій абстрактній структурі гіпотеза Шануеля дійсно виконується<ref>{{Стаття|title=Pseudo-exponentiation on algebraically closed fields of characteristic zero|видання=Annals of Pure and Applied Logic|том=132|номер=1|pages=67—95|doi=10.1016/j.apal.2004.07.001|language=en|тип=journal|author=Zilber, B.|date=2005}}</ref>. На жаль, поки немає впевненості, що ця структура дійсно така ж, як комплексні числа з названими операціями.
== Підходи ==
| |||