Вікіпедія

Мультиплікативна група кільця лишків за модулем n: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
Рядок 72:
 
В загальному випадку існує лише один породжувач для кожного циклічного прямого множника.
 
==Приклади==
 
Ця таблиця показує циклічну декомпозицію <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> і [[Породжуюча множина групи|породжуючу множину]] для малих значень ''n''. Породжуюча множина не єдина; наприклад для модуля 16 підходять і {&minus;1, 3}, і {&minus;1, 5}. Породжувачі вказані в порядку прямих множників ({{lang-en|direct factor}}).
 
Наприклад, візьмемо ''n''&nbsp;=&nbsp;20. <math>\varphi(20)=8</math> значить, що порядок <math>(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times</math> 8 (тоюто всього 8 чисел менших від 20 і взаємно простих з ним); <math>\lambda(20)=4</math>, що четвертий степінь будь-якого числа взаємно простого до 20 ≡ 1 (mod 20); і по породжувачах, 19 має порядок 2, 3 — 4, і кожен член <math>(\mathbb{Z}/20\mathbb{Z})^\times</math> має форму 19<sup>''a''</sup> × 3<sup>''b''</sup>, де ''a'' — 0 або 1 і ''b'' — 0, 1, 2 або 3.
 
Степені 19 — {±1} і степені 3 — {3, 9, 7, 1}. Степені 3 помножені на ±1 складають всі числа менші 20 і взаємно прости щодо нього. Факт того, що порядком 19 є 2 і порядок 3 — 4 тягне за собою те, що кожен член <math>\mathbb{Z}_{20}^\times</math> ≡ 1 (mod 20).
 
{| class="wikitable" style="text-align:center" cellpadding="2"
|+ Будова групи '''(Z/''n''Z)<sup>×</sup>'''
|-
! <math>n\;</math> || <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> || <math>\varphi(n)\;</math> || <math>\lambda(n)\;</math> || породжуюча множина
| width="25" rowspan="32" | &nbsp;
! <math>n\;</math> || <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> || <math>\varphi(n)\;</math> || <math>\lambda(n)\;</math> || породжуюча множина
|-
! 2
| C<sub>1</sub> || 1 || 1 || 1
! 33
| C<sub>2</sub>×C<sub>10</sub> || 20 || 10 || 10, 2
|-
! 3
| C<sub>2</sub> || 2 || 2 || 2
! 34
| C<sub>16</sub> || 16 || 16 || 3
|-
! 4
| C<sub>2</sub> || 2 || 2 || 3
! 35
| C<sub>2</sub>×C<sub>12</sub> || 24 || 12 || 6, 2
|-
! 5
| C<sub>4</sub> || 4 || 4 || 2
! 36
| C<sub>2</sub>×C<sub>6</sub> || 12 || 6 || 19, 5
|-
! 6
| C<sub>2</sub> || 2 || 2 || 5
! 37
| C<sub>36</sub> || 36 || 36 || 2
|-
! 7
| C<sub>6</sub> || 6 || 6 || 3
! 38
| C<sub>18</sub> || 18 || 18 || 3
|-
 
! 8
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub> || 4 || 2 || 7, 3
! 39
| C<sub>2</sub>×C<sub>12</sub> || 24 || 12 || 38, 2
|-
 
! 9
| C<sub>6</sub> || 6 || 6 || 2
! 40
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 16 || 4 || 39, 11, 3
|-
 
! 10
| C<sub>4</sub> || 4 || 4 || 3
! 41
| C<sub>40</sub> || 40 || 40 || 6
|-
 
! 11
| C<sub>10</sub> || 10 || 10 || 2
! 42
| C<sub>2</sub>×C<sub>6</sub> || 12 || 6 || 13, 5
|-
 
! 12
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub> || 4 || 2 || 5, 7
! 43
| C<sub>42</sub> || 42 || 42 || 3
|-
 
! 13
| C<sub>12</sub> || 12 || 12 || 2
! 44
| C<sub>2</sub>×C<sub>10</sub> || 20 || 10 || 43, 3
|-
 
! 14
| C<sub>6</sub> || 6 || 6 || 3
! 45
| C<sub>2</sub>×C<sub>12</sub> || 24 || 12 || 44, 2
|-
 
! 15
| C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 8 || 4 || 14, 2
! 46
| C<sub>22</sub> || 22 || 22 || 5
|-
 
! 16
| C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 8 || 4 || 15, 3
! 47
| C<sub>46</sub> || 46 || 46 || 5
|-
 
! 17
| C<sub>16</sub> || 16 || 16 || 3
! 48
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 16 || 4 || 47, 7, 5
|-
 
! 18
| C<sub>6</sub> || 6 || 6 || 5
! 49
| C<sub>42</sub> || 42 || 42 || 3
|-
 
! 19
| C<sub>18</sub> || 18 || 18 || 2
! 50
| C<sub>20</sub> || 20 || 20 || 3
|-
 
! 20
| C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 8 || 4 || 19, 3
! 51
| C<sub>2</sub>×C<sub>16</sub> || 32 || 16 || 50, 5
|-
 
! 21
| C<sub>2</sub>×C<sub>6</sub> || 12 || 6 || 20, 2
! 52
| C<sub>2</sub>×C<sub>12</sub> || 24 || 12 || 51, 7
|-
 
! 22
| C<sub>10</sub> || 10 || 10 || 7
! 53
| C<sub>52</sub> || 52 || 52 || 2
|-
 
! 23
| C<sub>22</sub> || 22 || 22 || 5
! 54
| C<sub>18</sub> || 18 || 18 || 5
|-
 
! 24
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub> || 8 || 2 || 5, 7, 13
! 55
| C<sub>2</sub>×C<sub>20</sub> || 40 || 20 || 21, 2
|-
 
! 25
| C<sub>20</sub> || 20 || 20 || 2
! 56
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>×C<sub>6</sub> || 24 || 6 || 13, 29, 3
|-
! 26
| C<sub>12</sub> || 12 || 12 || 7
! 57
| C<sub>2</sub>×C<sub>18</sub> || 36 || 18 || 20, 2
|-
! 27
| C<sub>18</sub> || 18 || 18 || 2
! 58
| C<sub>28</sub> || 28 || 28 || 3
|-
! 28
| C<sub>2</sub>×C<sub>6</sub> || 12 || 6 || 13, 3
! 59
| C<sub>58</sub> || 58 || 58 || 2
|-
! 29
| C<sub>28</sub> || 28 || 28 || 2
! 60
| C<sub>2</sub>×C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 16 || 4 || 11, 19, 7
|-
! 30
| C<sub>2</sub>×C<sub>4</sub> || 8 || 4 || 11, 7
! 61
| C<sub>60</sub> || 60 || 60 || 2
|-
! 31
| C<sub>30</sub> || 30 || 30 || 3
! 62
| C<sub>30</sub> || 30 || 30 || 3
|-
! 32
| C<sub>2</sub>×C<sub>8</sub> || 16 || 8 || 31, 3
! 63
| C<sub>6</sub>×C<sub>6</sub> || 36 || 6 || 2, 5
|}
 
== Примітки ==
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Мультиплікативна_група_кільця_лишків_за_модулем_n