Рівняння Ейнштейна: відмінності між версіями

Прирівнюючи формули (4) і (9) знаходимо, що нульова компонента метричного тензора повязана з гравітаційним потенціалом:

: <math>(10) \qquad \phi = {c^2 g_{00} \over 2} + const</math>

: <math>(11) \qquad g_{00} = 1 + {2 \phi \over c^2}</math>

Тепер ми готові підібрати релятивістський аналог для лівої частини формули (5). Ясно, що цей аналог повинен містити другі похідні метричного тензора <math>g_{ij}</math> і одночасно бути тензором, щоб задовольнити основну вимогу загальної теорії відносності - бути інваріантним щодо довільної заміни системи координат. Ми не можемо використати частинні похідні <math>\partial^2 g_{ij} \over \partial x^k \partial x^l</math> самі по собі, оскільки вони не є тензором (при заміні системи координат перетворюються не по тензорним правилам). Також ми не можемо скористатися коваріантною похідною, оскільки [[Диференціальна геометрія|відомо]], що коваріантна похідна метричного тензора <math>\nabla_k g_{ij}</math> тотожно дорівнює нулю. Але нам підходить тензор внутрішньої кривини ([[тензор Рімана]]):