Критична точка (математика): відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Звірі (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Звірі (обговорення | внесок) |
||
Рядок 17:
У разі <math> m = 1 </math> дане визначення означає, що [[градієнт]] <math> \nabla f = (f'_{x_1}, \ldots, f'_{x_n}) </math > у даній точці перетворюється в нуль. У найпростішому випадку <math> n = m = 1 </math> це означає, що [[Похідна функції|похідна]] <math> f '</math> у даній точці дорівнює нулю.
Критична точка називається '''невиродженою''', якщо в ній [[Матриця Гессе|гессіан]] <math> \Bigl| \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \Bigr| </math > відмінний від нуля. Якщо <math> f </math> має клас гладкості не нижче <math> C^3 </math>, то в околиці невиродженої критичної точки існують координати, в яких функція <math> f (x) </math> має квадратичну нормальну форму ([[лема Морса]]).
При <math> m = 1 </math> має сенс питання про максимум і мінімумі функції. Відповідно до відомого твердженням математичного аналізу, безперервно диференційовна функція <math> f </math>, визначена у всьому просторі <math> \R^n </math> або у його відкритій підмножині, може досягати локального максимуму (мінімуму) тільки в критичних точках , причому якщо точка невироджена, то матриця <math> \Bigl (\frac {\partial^2 f} {\partial x^2} \Bigr) = \Bigl(\frac {\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} \Bigr), </math> <math> i, j = 1, \ldots, n, </math> у ній повинна бути від'ємно (додатно) визначена. Останнє є також достатньою умовою локального максимуму (мінімуму).
== Література ==
| |||